"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Касательная — прямая, которая проходит через точку графика функции и имеет с ним одинаковое направление непосредственно возле этой точки. Её наклон определяется производной: угловой коэффициент касательной в точке x₀ равен f′(x₀). Зная координаты точки касания и производную, можно записать уравнение прямой и использовать её для исследования графика, поиска горизонтальных касательных и приближённого вычисления значений функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная прямая — прямая, которая касается графика функции в заданной точке и имеет с ним общее направление вблизи этой точки. Она не просто пересекает график, а передаёт его направление в малой окрестности. Это позволяет заменять сложный график прямой при приближённых вычислениях.
Точка касания — точка графика функции, в которой проводится касательная. Если её абсцисса равна x₀, то координаты точки имеют вид A(x₀; f(x₀)). Эта точка нужна, чтобы определить, через какое место должна пройти искомая прямая.
Производная функции в точке — число, равное угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Обозначение f′(x₀) показывает, как быстро изменяется функция и насколько наклонён её график. Поэтому производная непосредственно участвует в уравнении касательной.
Уравнение касательной — формула прямой, проходящей через точку графика с абсциссой x₀ и имеющей угловой коэффициент f′(x₀). Его основной вид: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). По этой формуле можно построить касательную, если известны точка и производная.
Проведём через две точки графика секущую — прямую, пересекающую график в этих точках. Её угловой коэффициент равен отношению разности значений функции к разности абсцисс: (f(x₀ + Δx) − f(x₀)) / Δx. Если вторую точку приближать к первой, Δx стремится к нулю, а секущая занимает предельное положение. Именно эту предельную прямую называют касательной.
Производная в точке определяется как предел указанного отношения при Δx, стремящемся к нулю. Но отношение приращения функции к приращению аргумента — это угловой коэффициент секущей. Следовательно, предел угловых коэффициентов секущих равен угловому коэффициенту предельной прямой, то есть касательной. Поэтому k = f′(x₀).
Касательная должна проходить через A(x₀; f(x₀)) и иметь коэффициент наклона f′(x₀). Уравнение прямой через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k имеет вид y − y₀ = k(x − x₀). Подставляя y₀ = f(x₀) и k = f′(x₀), получаем y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
Если f′(x₀) = 0, изменение y при изменении x в первом приближении отсутствует. У прямой с нулевым угловым коэффициентом все точки имеют одну и ту же ординату, поэтому она горизонтальна. Такая касательная параллельна оси Ox и может появляться, например, в точке максимума или минимума функции.
Рядом с x₀ значение функции можно оценить значением касательной. При x = x₀ + Δx получаем f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f′(x₀)Δx. Это приближение тем полезнее, чем меньше Δx и чем точнее график функции около точки похож на прямую.
Таблица собирает все основные элементы построения касательной в одном месте. Действуйте по порядку: сначала найдите точку и производную, затем подставьте их в формулу. Последняя проверка помогает обнаружить ошибки в знаках и вычислениях.
| Элемент | Формула или условие | Геометрический смысл | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Точка касания | A(x₀; f(x₀)) | Касательная проходит через точку графика | Точка действительно принадлежит графику |
| Угловой коэффициент | k = f′(x₀) | Наклон касательной к оси абсцисс | Производная существует в точке |
| Уравнение касательной | y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) | Прямая с заданными точкой и наклоном | Подставить x = x₀ и получить y = f(x₀) |
| Горизонтальная касательная | f′(x₀) = 0 | Касательная параллельна оси Ox | Проверить значение производной |
| Приближённое значение функции | f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f′(x₀)Δx | Линейное приближение графика около точки | Δx должно быть достаточно малым |
Найти уравнение касательной к графику f(x) = x² в точке с абсциссой x₀ = 1. Сначала определим координаты точки касания, затем найдём наклон графика в этой точке. После этого применим общую формулу прямой.
Ответ: y = 2x − 1.
Для f(x) = x³ − 2x найдём касательные, параллельные прямой y = 4x + 1. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, значит, производная должна быть равна 4. После нахождения абсцисс вычислим ординаты и составим обе прямые.
Ответ: y = 4x − 4√2 и y = 4x + 4√2.
Составим касательную к f(x) = ln x при x₀ = 1 и оценим ln 1,02. Значение 1,02 близко к 1, поэтому касательная даст удобное линейное приближение. Производная логарифма в этой точке существует.
Ответ: касательная y = x − 1; приближённо ln 1,02 ≈ 0,02.
Путают f(x₀) и f′(x₀). Значение функции задаёт ординату точки, а производная — наклон прямой. Проверьте себя: коэффициент наклона должен совпасть именно с производной.
Пишут y = f′(x₀)x + f(x₀). Свободный член не всегда равен f(x₀), потому что прямая должна пройти через выбранную точку. Подставьте x = x₀ в полученную формулу и проверьте, получается ли f(x₀).
Ошибаются в знаке x − x₀. Из-за замены на x + x₀ прямая обычно не проходит через точку касания. Подстановка x = x₀ сразу показывает такую ошибку: скобка должна обратиться в ноль.
Не проверяют существование производной. Формула касательной требует конечного значения f′(x₀), но в некоторых точках производной нет. Сначала найдите область определения и убедитесь, что функция дифференцируема в точке.
Для этой темы нужны производная, её геометрический смысл, уравнение прямой и понятие углового коэффициента. Без них трудно понять, откуда берётся формула касательной.
Касательные используются при исследовании функций: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и особенности графика. Горизонтальная касательная часто указывает на возможный максимум или минимум.
Дальше касательная помогает решать задачи на линейное приближение, скорость изменения величин и оптимизацию. Она связывает графическое представление функции с практическими оценками.
Чем касательная отличается от секущей?
Секущая проходит через две точки графика, а касательная определяется одной точкой и предельным направлением секущих при приближении второй точки к первой. Поэтому касательная показывает направление графика непосредственно в точке касания.
Почему угловой коэффициент касательной равен производной?
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента. При стремлении второй точки к точке касания это отношение стремится к производной, поэтому предельный наклон секущих и есть f′(x₀).
Как быстро проверить правильность уравнения касательной?
Подставьте в уравнение x = x₀: должно получиться y = f(x₀). Затем сравните коэффициент при x − x₀ с производной f′(x₀).
Можно ли провести касательную в точке, где производная не существует?
Обычную касательную с конечным угловым коэффициентом по формуле y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) провести нельзя, поскольку f′(x₀) не определена. В отдельных случаях у графика может существовать вертикальная касательная, но её нельзя описать конечным угловым коэффициентом.
Как касательная помогает приближённо вычислять значения функции?
Вблизи точки x₀ график заменяют касательной, поэтому f(x₀ + Δx) приблизительно равно f(x₀) + f′(x₀)Δx. Чем меньше Δx, тем обычно точнее такое линейное приближение.
6. Касательная прямая к графику функции и ее уравнение
