6. Универсальная подстановка

Определения и обозначения

Универсальная подстановка — замена t = tg(x/2), позволяющая выразить sin x, cos x и dx через рациональные функции переменной t. Она нужна, чтобы тригонометрический интеграл превратить в алгебраический.

Вспомогательная переменная t — новая переменная, которую вводят вместо угла x на время преобразований. После вычислений t заменяют обратно на tg(x/2), поэтому промежуточная буква не меняет исходную задачу.

Рациональное тригонометрическое выражение — выражение из sin x и cos x, составленное с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. После универсальной подстановки оно превращается в дробь, содержащую только многочлены от t.

Рациональная функция — отношение двух многочленов. К интегралу от такой функции применимы обычные алгебраические приёмы, например деление многочленов и разложение на простейшие дроби.

Как это устроено

Подстановка работает благодаря формулам двойного угла. Если t = tg(x/2), то sin x = 2sin(x/2)cos(x/2), а cos x = cos²(x/2) − sin²(x/2). Отношение sin(x/2) к cos(x/2) равно t, поэтому после деления числителя и знаменателя на cos²(x/2) тригонометрические функции исчезают.

Так получают sin x = 2t/(1 + t²). Действительно, в формуле двойного угла заменяем sin(x/2) на tcos(x/2), а затем используем sin²(x/2) + cos²(x/2) = 1. Аналогично cos x = (1 − t²)/(1 + t²): в разности cos²(x/2) − sin²(x/2) выносим cos²(x/2) и заменяем отношение квадратов на t².

Для дифференциала используют производную тангенса: из t = tg(x/2) следует dt = ½(1 + t²)dx. Поэтому dx = 2dt/(1 + t²). Этот множитель обязателен: при замене переменной меняется не только подынтегральное выражение, но и маленькое приращение переменной интегрирования.

Пусть подынтегральное выражение рационально составлено из sin x и cos x. Каждая из этих функций после замены становится дробью от t, а dx также является такой дробью. Сложение, умножение и деление рациональных дробей снова дают рациональную функцию, поэтому исходный интеграл сводится к алгебраическому.

Подстановка определена там, где tg(x/2) существует, то есть x/2 ≠ π/2 + πk, или x ≠ π + 2πk. Кроме того, исходный интеграл может иметь собственные запрещённые точки, например нули знаменателя. Работать следует на промежутке, где все выражения определены, а после решения полезно выполнить обратную замену и проверить производную.

Формулы универсальной подстановки

Таблицу удобно применять построчно: сначала заменить все тригонометрические функции, затем отдельно подставить выражение для dx. После этого дроби нужно привести к общему виду и только потом интегрировать.

Знак в последней строке выбирается так же, как в исходном выражении: для sin x + cos x берут 2t + 1 − t², а для sin x − cos x — 2t − 1 + t².

Разбор задач

1. Вычислить интеграл ∫ dx/(1 + cos x)

1. Положим t = tg(x/2). Тогда cos x = (1 − t²)/(1 + t²), а dx = 2dt/(1 + t²).
2. Знаменатель преобразуется так: 1 + cos x = 1 + (1 − t²)/(1 + t²) = 2/(1 + t²).
3. Подставляем обе формулы: ∫ [2dt/(1 + t²)]/[2/(1 + t²)] = ∫dt = t + C.

Ответ: tg(x/2) + C.

2. Вычислить интеграл ∫ dx/(sin x + cos x)

1. После подстановки sin x + cos x = (2t + 1 − t²)/(1 + t²), а dx = 2dt/(1 + t²).
2. Сокращаем общий множитель: интеграл становится ∫2dt/(2 − (t − 1)²).
3. Используем формулу для разности квадратов. Получаем (1/√2)ln|(√2 + t − 1)/(√2 − t + 1)| + C.
4. Возвращаем t = tg(x/2).

Ответ: (1/√2)ln|(√2 + tg(x/2) − 1)/(√2 − tg(x/2) + 1)| + C.

3. Вычислить интеграл ∫ dx/((1 + sin x)(1 + cos x))

1. Пусть t = tg(x/2), q = 1 + t². Тогда 1 + sin x = (t + 1)²/q, 1 + cos x = 2/q, dx = 2dt/q.
2. Подстановка даёт ∫q/(t + 1)² dt = ∫(1 + t²)/(t + 1)²dt.
3. Разложим дробь: (1 + t²)/(t + 1)² = 1 − 2/(t + 1) + 2/(t + 1)².
4. Интегрируем и заменяем t обратно.

Ответ: tg(x/2) − 2ln|tg(x/2) + 1| − 2/(tg(x/2) + 1) + C.

Типичные ошибки

Часто вместо универсальной подстановки записывают t = tg x. Так нельзя: нужные формулы двойного угла относятся именно к половинному углу. Проверка проста — убедитесь, что из вашей замены действительно получаются обе формулы для sin x и cos x.

Иногда заменяют синус и косинус, но оставляют dx без изменений. Ошибка появляется из-за того, что внимание сосредоточено на знаменателе, хотя замена переменной требует преобразовать весь дифференциал. Всегда выписывайте отдельной строкой dx = 2dt/(1 + t²).

Неверная формула для косинуса обычно возникает при перестановке знаков: пишут (1 + t²)/(1 − t²) или меняют знак перед t². Для самопроверки подставьте t = 0: при x = 0 должно получаться cos x = 1.

Механическое сокращение множителей может скрыть запрещённые значения. Нули знаменателя и точки, где исходное выражение не определено, нельзя возвращать в область допустимых значений после сокращения. Сравните ОДЗ до и после преобразований и проверьте ответ на исходном выражении.

Связь с другими темами

Перед изучением нужны формулы двойного угла, связь тангенса половинного угла с синусом и косинусом, а также правило замены переменной в интеграле. Метод особенно полезен при интегрировании рациональных тригонометрических выражений: после него применяются разложение рациональных дробей и другие алгебраические приёмы. Та же идея помогает сводить некоторые сложные тригонометрические уравнения к алгебраическим.

Что запомнить

• Универсальная подстановка имеет вид t = tg(x/2).
• sin x = 2t/(1 + t²).
• cos x = (1 − t²)/(1 + t²).
• dx = 2dt/(1 + t²).
• После подстановки рациональное тригонометрическое выражение становится рациональным выражением относительно t.
• Для окончательного ответа нужно вернуться от t к x.
• Область допустимых значений исходного выражения необходимо сохранять.