7. Использование формул для кратных углов при решении тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Кратный угол — угол вида nx, где n — натуральное число. Например, 2x и 3x являются двойным и тройным углами. Это обозначение показывает, во сколько раз аргумент функции больше x.

Формула двойного угла выражает sin 2x, cos 2x или tg 2x через функции угла x. Такие формулы позволяют заменить сложный аргумент более привычными sin x, cos x или tg x. После этого уравнение часто становится доступным для обычных алгебраических преобразований.

Формула тройного угла выражает sin 3x, cos 3x или tg 3x через функции x. Например, sin 3x = 3sin x − 4sin³x. Она нужна, когда в уравнении встречается аргумент 3x и его нужно свести к одной функции от x.

Тригонометрическое уравнение с кратными углами — уравнение, в котором аргумент тригонометрической функции имеет вид nx. Его решают преобразованием кратного угла, заменой и последующим восстановлением x. При этом обязательно проверяют ограничения и исходное уравнение.

Как это устроено

Формулы кратных углов получают из формул сложения: к примеру, 2x можно записать как x + x, а 3x — как 2x + x. Подставляя одинаковые углы в формулы sin(a + b), cos(a + b) и tg(a + b), получают выражения через sin x, cos x и tg x. Затем основное тождество sin²x + cos²x = 1 помогает привести результат к удобному виду.

Преобразование нужно потому, что функции кратного угла сами по себе не являются новой неизвестной величиной. После замены sin 2x или cos 3x формулой через x уравнение содержит, например, только sin x и его степени. Тогда можно ввести y = sin x или y = cos x и решить алгебраическое уравнение, не забывая о диапазоне значений исходной функции.

У формулы cos 2x есть три равные формы: cos²x − sin²x, 1 − 2sin²x и 2cos²x − 1. Форму 1 − 2sin²x выбирают, если в уравнении уже встречается sin x, а форму 2cos²x − 1 — если удобнее работать с cos x. Запись cos²x − sin²x полезна, когда обе функции можно объединить или разложить выражение на множители.

После введения замены найденное значение y ещё не является ответом. Для y = sin x нужно решить простейшее тригонометрическое уравнение и учитывать −1 ≤ y ≤ 1; такое же ограничение действует для y = cos x. Если используется tg x, проверяют, что тангенс определён, а для формулы tg 2x отдельно исключают значения, при которых знаменатель 1 − tg²x равен нулю.

Формулы кратных углов и их применение

В таблице сначала найдите функцию, содержащую кратный угол, затем выберите преобразование, которое оставляет наиболее удобную неизвестную. После алгебраического решения обязательно выполните обратный переход к x. Для тангенса дополнительно контролируйте область допустимых значений.

Разбор задач

1. Уравнение sin 2x = √3/2

Здесь удобнее не раскрывать синус двойного угла, а сначала рассмотреть 2x как единый аргумент. Затем из общего решения нужно получить x, не забыв изменить период.

1. Положим t = 2x. Тогда sin t = √3/2.
2. Общее решение: t = π/3 + 2πk или t = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
3. Возвращаемся к x: x = π/6 + πk или x = π/3 + πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + πk или x = π/3 + πk, k ∈ Z.

2. Уравнение cos 2x = sin x

Справа уже стоит sin x, поэтому выбираем форму cos 2x = 1 − 2sin²x. Это приведёт к квадратному уравнению относительно значения синуса.

1. Получаем 1 − 2sin²x = sin x.
2. Вводим y = sin x: 2y² + y − 1 = 0.
3. Разложение даёт (2y − 1)(y + 1) = 0, поэтому y = 1/2 или y = −1. Оба значения принадлежат [−1; 1].
4. Решаем: sin x = 1/2, откуда x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk; sin x = −1, откуда x = −π/2 + 2πk.

Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk или x = −π/2 + 2πk, k ∈ Z.

3. Уравнение cos 3x = cos x

Формула cos 3x выражает левую часть через cos x, поэтому после замены получится многочлен. Его удобно разложить на множители и решить несколько простейших уравнений.

1. Записываем 4cos³x − 3cos x = cos x.
2. Переносим всё в левую часть: 4cos³x − 4cos x = 0.
3. Выносим общий множитель: 4cos x(cos²x − 1) = 0.
4. Отсюда cos x = 0 или cos²x = 1. Получаем x = π/2 + πk либо x = πk, k ∈ Z.

Ответ: x = πk или x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Одна форма cos 2x. Использование только записи cos²x − sin²x иногда создаёт лишние переменные и сложные преобразования. Ошибку вызывают привычка и невнимание к структуре уравнения. Проверьте, не приведёт ли форма 1 − 2sin²x или 2cos²x − 1 сразу к квадратному уравнению.

Деление на sin x или cos x. При таком шаге исключается случай равенства делителя нулю, поэтому решения могут потеряться. Перед делением отдельно рассмотрите sin x = 0 или cos x = 0 и подставьте эти случаи в исходное уравнение. Только после этого делите оставшееся равенство.

Недопустимый корень замены. Решая уравнение относительно y, легко оставить значение, которое не может быть синусом или косинусом. Причина — временное восприятие y как произвольного числа. Проверяйте каждый корень условием −1 ≤ y ≤ 1.

Неверный переход от nx к x. При делении общего решения можно ошибиться с периодом или разделить не все слагаемые. Выписывайте преобразование полностью: из 3x = α + 2πk следует x = α/3 + 2πk/3. Затем подставьте результат в исходное уравнение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны формулы сложения, основное тригонометрическое тождество и общие решения простейших тригонометрических уравнений. Эти знания объясняют происхождение формул и помогают выполнить обратный переход.

Формулы кратных углов подготавливают к уравнениям, которые сводятся к многочленам относительно sin x или cos x. Они также применяются при преобразовании тригонометрических выражений и решении более сложных уравнений и неравенств.

Что запомнить

• Кратный угол имеет вид nx.
• Формулы кратных углов выводятся из формул сложения.
• Форму формулы cos 2x выбирают по тому, какую функцию удобнее оставить.
• После замены учитывают ограничения −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
• При делении на тригонометрическое выражение отдельно рассматривают случай его равенства нулю.
• После решения уравнения относительно nx корректно переходят к x.
• Все найденные решения проверяют в исходном уравнении или с учётом области допустимых значений.