"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Одночлен — выражение, в котором числа и переменные перемножаются, например 5x²y. Одночлены удобно приводить к стандартному виду: так легче находить их коэффициент и степень, а также выполнять умножение. При умножении числовые коэффициенты перемножают, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. Эти правила помогают упрощать алгебраические выражения и пригодятся при умножении многочленов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Например, 7x²y и −3ab³ — одночлены, потому что их части перемножаются. Выражение x + 2 не одночлен: в нём есть сложение, а не только умножение. Это различие помогает понять, какие правила можно применять к выражению целиком.
Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных. Если одна переменная встречается несколько раз, её записывают один раз, объединяя степени: 2a · a³ = 2a⁴. Такой вид удобен для сравнения и дальнейших вычислений. Например, сразу видно, что в одночлене 2a⁴ показатель переменной a равен 4.
Коэффициент одночлена — числовой множитель в стандартном виде, включая его знак. У выражения 5x² коэффициент равен 5, а у −3ab — −3. Если число не записано, коэффициент равен 1: x² = 1 · x²; если перед переменными стоит только минус, коэффициент равен −1: −y = −1 · y. Коэффициент нужен, чтобы отдельно выполнять действия с числовой частью одночлена.
Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. Например, степень одночлена 4x²y³ равна 2 + 3 = 5. Число 4 в эту сумму не входит: оно является коэффициентом, а не переменной. Степень показывает общий вклад переменных и помогает работать с произведениями одночленов.
Чтобы распознать одночлен, проверь, что его части перемножаются, а переменные возведены в степени с неотрицательными целыми показателями. Так, 6x² · (−y) и 3ab⁴ — одночлены. Выражения 2x + 1 и a − b не одночлены, потому что содержат сложение или вычитание. Сумма одночленов тоже остаётся суммой, а не превращается в один одночлен только оттого, что оба её слагаемых имеют подходящий вид.
Стандартный вид нужен, чтобы не повторять одну и ту же переменную в произведении и видеть, какие части можно объединить. Сначала перемножают числовые множители, а затем собирают степени одинаковых переменных. Например, 2a · 3a² · b = 6a³b: числа 2 и 3 дают 6, а три множителя a дают a³. Переменная b встречается один раз, поэтому остаётся в первой степени.
Правило умножения следует из смысла степени. Степень показывает повторное умножение одного и того же основания: x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵. Поэтому при одинаковом основании показатели складывают, а коэффициенты перемножают. В общем случае, например, 2x² · 3x³ = 6x⁵.
Чтобы найти коэффициент произведения, перемножь числовые коэффициенты вместе со знаками. Для степени сначала собери показатели каждой переменной, затем сложи их; например, в 6x³y² степень равна 3 + 2 = 5. Знак тоже определяется коэффициентами: произведение двух отрицательных чисел положительно, а отрицательного и положительного — отрицательно. Отдельный подсчёт числовых частей помогает не потерять знак при работе с буквами.
Если переменная встречается только в одном множителе, объединять её не с чем, поэтому её степень сохраняется. Например, в a² · b³ переменная a остаётся во второй степени, а b — в третьей: результат a²b³. Показатели у разных переменных нельзя складывать, потому что основания у степеней разные. Складывают только показатели одинаковых переменных, встретившихся в нескольких множителях.
| Что умножаем | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Числовые коэффициенты | Перемножить с учётом знаков. | (−2) · 3 = −6 |
| Степени одинаковой переменной | Показатели сложить. | x² · x³ = x⁵ |
| Разные переменные | Записать обе степени. | a² · b³ = a²b³ |
| Степень произведения одночленов | Сложить степени множителей. | Степень x²y · xy³ равна 7 |
Пользуйся таблицей по частям: сначала найди числовые коэффициенты, затем отдельно обработай степени переменных. Если основания одинаковые, показатели складываются; если переменные разные, их степени просто записываются рядом. После упрощения сложи показатели всех переменных, чтобы определить степень результата.
Задача 1. Приведите одночлен −3a · 2a² к стандартному виду и укажите его коэффициент и степень. Сначала отделим числа от переменных, поскольку они обрабатываются по разным правилам. Затем объединим степени одной и той же переменной. В конце прочитаем коэффициент и найдём степень полученного одночлена.
Ответ: −6a³; коэффициент −6, степень 3.
Задача 2. Выполните умножение 4x²y · (−3xy³). Удобно сначала вычислить произведение чисел, чтобы сразу учесть знак. Затем для каждой переменной отдельно посмотрим, встречается ли она в обоих множителях. Так мы не смешаем показатели x и y.
Ответ: −12x³y⁴.
Задача 3. Найдите произведение (−2a²b) · (3ab³) · (−a³), укажите стандартный вид, коэффициент и степень. В выражении два отрицательных коэффициента, поэтому знак результата будет положительным. Показатели каждой переменной нужно собрать по всем трём множителям. После этого можно определить коэффициент и общую степень.
Ответ: 6a⁶b⁴; коэффициент 6, степень 10.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: записывают x² · x³ = x⁶. Так путают умножение степеней с возведением степени в степень. Проверь запись, раскрыв степени: всего в произведении пять множителей x, значит ответ x⁵.
Нельзя складывать показатели у разных переменных: a²b³ — это не ab⁵. Ошибка возникает, если не смотреть на основание каждой степени и просто складывать все числа в показателях. Проверяй, какая переменная стоит под каждым показателем: объединять можно только одинаковые основания. Разные переменные сохраняются отдельно.
При умножении можно потерять знак коэффициента или неверно определить знак результата. Чаще всего это происходит, когда считают буквы и числа одновременно. Сначала умножь только числовые коэффициенты и посчитай отрицательные множители: чётное их число даёт плюс, нечётное — минус. Затем отдельно обработай переменные.
Степень одночлена нельзя определять только по одному показателю или включать в неё коэффициент. Например, у 4x²y³ степень не 3 и не 4 + 2 + 3, а 2 + 3 = 5. Проверь себя: сложи показатели всех переменных в стандартном виде и не учитывай числовой множитель. Если переменная записана без показателя, её показатель равен 1.
Для умножения одночленов нужно уметь умножать числа, учитывать правила знаков и понимать запись степеней с натуральными показателями. Эти знания объясняют, почему коэффициенты перемножаются, а одинаковые переменные объединяются сложением показателей. Умение приводить одночлен к стандартному виду понадобится при умножении многочленов: каждый полученный продукт удобно сразу упрощать. Оно также помогает сокращать и упрощать алгебраические выражения.
Является ли сумма двух одночленов одночленом?
Нет, сумма или разность одночленов не является одночленом: в ней есть сложение или вычитание. Например, 3x + 2x — это сумма двух одночленов, а не одночлен.
Как найти коэффициент одночлена, если число перед переменными не записано?
Если перед переменными нет числа и знака, коэффициент равен 1: x²y = 1 · x²y. Если записан минус без числа, коэффициент равен −1: −ab = −1 · ab.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение. Например, x² · x³ = (x · x) · (x · x · x), то есть всего пять множителей x; поэтому x² · x³ = x⁵.
Что делать, если в множителях есть разные переменные?
Записывать степени разных переменных отдельно: показатели складывают только у одинаковых оснований. Например, a² · b³ = a²b³.
Как найти степень произведения нескольких одночленов?
Сначала сложи показатели каждой переменной во всех множителях, а затем сложи показатели всех переменных в результате. Числовые коэффициенты на степень одночлена не влияют.
8. Одночлен. Умножение одночленов
