"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Возведение одночлена в степень — это повторное умножение одного и того же одночлена на себя. Это правило помогает быстро упрощать выражения, не раскрывая длинные произведения. В степень нужно возвести каждый множитель: числовой коэффициент и все переменные. Показатель каждой переменной при этом умножается на показатель степени одночлена, а знак результата зависит от того, чётная степень или нечётная.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен в стандартном виде — это произведение числового коэффициента и степеней различных переменных, например −2a³b². Числовой коэффициент — число перед переменными, здесь это −2. Показатели степеней переменных показывают, сколько раз каждую переменную умножают саму на себя: у a показатель 3, у b — 2. Такая запись помогает быстро увидеть состав одночлена и применить к нему правила действий.
Степень одночлена — сумма показателей всех входящих в него переменных. Например, степень одночлена 4x²y³ равна 2 + 3 = 5. У ненулевого одночлена, состоящего только из числа, степень равна нулю: в числе нет переменных, показатели которых можно было бы сложить. Степень показывает общий порядок переменных в одночлене и помогает отличать одночлены разной степени.
Возведение одночлена в степень — это умножение одночлена на себя указанное число раз. Например, (3x)² означает (3x) · (3x), а не умножение одночлена на число 2. Показатель степени записывают справа вверху у скобок, чтобы было понятно, к какому выражению он относится. Это действие позволяет заменить повторное умножение короткой записью.
Степень произведения — правило, по которому при возведении произведения в натуральную степень каждый его множитель возводят в ту же степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Например, (2x)³ = 2³x³. Правило удобно тем, что позволяет отдельно обработать число и каждую переменную. Одночлен как раз является произведением таких множителей.
Натуральная степень одночлена показывает, сколько одинаковых множителей нужно перемножить. Например, (xy)³ = (xy) · (xy) · (xy). Если раскрыть эту запись, каждый множитель x встретится три раза, и каждый множитель y тоже встретится три раза. Поэтому степень можно вычислять по правилам умножения, не записывая длинное произведение до конца.
Для произведения работает общее правило (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Оно следует из смысла степени: произведение ab повторяется n раз, значит, в записи (ab) · (ab) · … каждый a перемножается с такими же a, а каждый b — с такими же b. Множители можно переставить и сгруппировать, поэтому получится aⁿbⁿ. Так же поступают с любым количеством множителей, в том числе с коэффициентом и переменными одночлена.
Пусть одночлен имеет вид a xᵐ yᵏ, а его возводят в степень n. По правилу степени произведения получаем aⁿ · (xᵐ)ⁿ · (yᵏ)ⁿ, то есть aⁿxᵐⁿyᵏⁿ. Коэффициент a тоже является множителем, поэтому его нельзя оставлять без изменения. Каждую переменную обрабатывают отдельно, сохраняя её основание.
Показатель переменной умножается на показатель степени, а не складывается с ним. Например, (x³)² означает x³ · x³: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, поэтому получаем x³⁺³ = x⁶. Это то же самое, что x³·². Складывание происходит внутри повторного умножения, а умножение показателей — короткая запись этой суммы одинаковых слагаемых.
Знак результата зависит от того, сколько отрицательных коэффициентов перемножается. При чётной степени отрицательный коэффициент повторяется чётное число раз, и минусы объединяются в пары: произведение каждой пары положительно. При нечётной степени одна отрицательная часть остаётся без пары, поэтому результат сохраняет минус. Это правило относится к знаку коэффициента, а переменные вычисляют по обычному правилу степеней.
| Что возводим в степень | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Числовой коэффициент | Коэффициент возводим в указанную степень | (3)² = 9 |
| Степень переменной | Показатель переменной умножаем на показатель степени | (x³)² = x⁶ |
| Произведение коэффициента и степеней переменных | Возводим в степень каждый множитель | (2x²y)³ = 8x⁶y³ |
| Отрицательный одночлен в чётной степени | Коэффициент становится положительным | (−2x)² = 4x² |
| Отрицательный одночлен в нечётной степени | Коэффициент остаётся отрицательным | (−2x)³ = −8x³ |
Сначала найдите в одночлене коэффициент и переменные, затем примените соответствующую строку таблицы к каждому множителю. Особенно внимательно проверьте знак коэффициента и умножение показателей переменных. В конце приведите результат к стандартному виду.
Задача 1. Возвести одночлен 3x² в третью степень. Нужно возвести в куб всё произведение, поэтому отдельно обработаем число 3 и степень x². Затем запишем результат как один одночлен и проверим, что показатель переменной получен умножением, а не сложением с 3.
Задача 2. Возвести одночлен −2a³b² в четвёртую степень. В скобках произведение отрицательного числа и двух степеней переменных. Поскольку показатель 4 чётный, четыре отрицательных коэффициента перемножатся в положительное число. Каждую переменную возведём в четвёртую степень отдельно.
Задача 3. Упростить выражение (−3x²y)³ · (2xy²)² и записать результат в стандартном виде. Здесь сначала нужно выполнить возведение каждого одночлена в степень, иначе легко смешать правила для степеней и умножения одночленов. После этого перемножим получившиеся коэффициенты, а показатели одинаковых переменных сложим. Разные переменные друг с другом не объединяются.
Ошибка: возводить в степень только переменные и забывать коэффициент. Так поступают, когда считают число перед буквами просто частью записи, хотя оно тоже является множителем. Например, в (3x)² коэффициент должен стать 3², а не остаться равным 3. Проверьте себя: раскройте степень как повторное умножение и посчитайте, сколько раз перемножается число.
Ошибка: складывать показатель переменной с показателем степени. Это часто происходит потому, что при умножении степеней показатели действительно складывают. Но в записи (x³)² одинаковые степени повторяются дважды, значит, складывается 3 + 3 и получается 6, то есть показатель умножается на 2. Для проверки представьте степень как повторное умножение.
Ошибка: не учитывать знак отрицательного коэффициента. Иногда минус теряют, потому что возводят в степень только модуль числа. При чётной степени минусы дают плюс, а при нечётной остаётся минус. Проверьте чётность показателя и убедитесь, что знак скобок относится ко всему одночлену.
Ошибка: умножать показатели разных переменных между собой. Правило применяется отдельно к каждой переменной: в (x²y³)² получаются x⁴ и y⁶, а не одна общая степень. Эту ошибку допускают, когда не разделяют множители по основаниям. Для самопроверки выпишите преобразование для каждой буквы отдельно.
Для этой темы нужно знать, что такое одночлен, как привести его к стандартному виду и как перемножать одночлены. При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают. Возведение одночлена в степень объединяет эти действия, повторяя один и тот же множитель несколько раз.
Правило пригодится при упрощении выражений, раскрытии скобок и преобразовании многочленов. Оно связано со свойствами степеней: произведение степеней с одинаковым основанием приводит к сложению показателей, а возведение степени в степень — к их умножению. Понимание этих связей помогает выбирать короткий способ преобразования.
Что значит возвести одночлен в степень?
Это значит умножить одночлен на себя столько раз, сколько показывает показатель степени. Например, x² в третьей степени — это x² · x² · x².
Почему показатель переменной умножается на показатель степени?
При повторном умножении степени с одинаковым основанием складываются. Если xᵐ повторяется n раз, то показатель равен m + m + … + m, то есть mn.
Нужно ли возводить числовой коэффициент в степень?
Да, коэффициент — такой же множитель одночлена, как и переменные. Например, в выражении (3x)² нужно возвести в квадрат и 3, и x.
Как определить знак результата, если коэффициент отрицательный?
При чётном показателе отрицательный коэффициент даёт положительный результат, потому что минусовые множители можно объединить в пары. При нечётном показателе один минус остаётся, поэтому результат отрицательный.
Чем возведение одночлена в степень отличается от умножения одночленов?
При возведении в степень один и тот же одночлен умножают на себя несколько раз. При умножении одночленов перемножают разные выражения; коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают.
9. Возведение одночлена в степень
