46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Определения и обозначения

Линейное неравенство с двумя переменными — это неравенство вида ax + by > c, ax + by < c, ax + by ≥ c или ax + by ≤ c, где x и y — переменные, а коэффициенты и число c заданы. Буквы обозначают числа, которые мы пока не знаем. Такая запись помогает описать условие сразу для многих пар чисел.

Решение неравенства — пара чисел, которая при подстановке вместо переменных превращает неравенство в верное числовое утверждение. Например, проверяя пару (x; y), мы заменяем x и y её координатами. Это определение позволяет отличить подходящие пары от тех, которые условию не удовлетворяют.

Графическое решение неравенства — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями неравенства. Одной точке соответствует одна пара чисел, поэтому область на чертеже показывает сразу все решения. Такой способ удобен, когда нужно увидеть их расположение, а не перечислять по одному.

Система линейных неравенств с двумя переменными — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Пара чисел подходит системе, только если подходит каждому неравенству. Это нужно учитывать при поиске общего решения: области решений нельзя рассматривать по отдельности.

Как это устроено

Равенство ax + by = c задаёт прямую, если коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно. На каждой её точке выражение ax + by равно c, поэтому точки прямой образуют границу между значениями, для которых оно больше c, и значениями, для которых оно меньше c. По разные стороны от прямой знак сравнения меняется, а внутри одной полуплоскости он остаётся одинаковым. Поэтому прямая разделяет плоскость на две области, и одна из них является решением неравенства.

Чтобы выбрать нужную полуплоскость, возьми точку, не лежащую на граничной прямой, и подставь её координаты в исходное неравенство. Такая точка называется пробной: она показывает знак выражения в одной из двух областей. Если полученное числовое неравенство верно, выбирай полуплоскость с пробной точкой. Если оно неверно, нужной будет другая сторона прямой.

На самой граничной прямой левая и правая части равны. При строгих знаках < и > равенство не подходит, поэтому точки прямой не входят в решение, а границу обычно рисуют пунктиром. При знаках ≥ и ≤ равенство разрешено, значит, все точки прямой входят в область решений. Такую границу изображают сплошной линией, чтобы показать её включённость.

Для системы нужно выполнить условия всех неравенств сразу. Сначала построй область решений каждого неравенства вместе с его границей, а затем найди точки, принадлежащие каждой из областей. Именно они составляют общую часть и являются решениями системы. Если хотя бы одно условие нарушено, точка не подходит всей системе, даже когда остальные неравенства выполняются.

Построение можно проверить подстановкой координат выбранной точки в исходное неравенство. Для системы проверь каждое неравенство отдельно: все полученные утверждения должны быть верными. Если точка внутри предполагаемой области не проходит проверку, вероятно, выбрана не та полуплоскость или неверно отмечена общая часть. Пробная точка при построении и проверочная точка после него помогают избежать этих ошибок.

Как изображать решения линейных неравенств и их систем

Сначала определи, строгое ли неравенство, и по этому признаку выбери вид границы. Затем найди подходящую сторону прямой пробной точкой. Для системы повтори действия для каждого условия и оставь только общую часть областей.

Разбор задач

Проверить, является ли пара (2; 1) решением неравенства x + 2y > 3.

Проверка пары сводится к подстановке: вместо x берём первое число, а вместо y — второе. После этого сравниваем полученные числа и не делаем вывод только по виду исходной записи. Если числовое неравенство верно, пара подходит.

1. Подставим x = 2 и y = 1 в левую часть: x + 2y = 2 + 2 · 1.
2. Вычислим: 2 + 2 = 4, поэтому проверяем 4 > 3.
3. Неравенство верно, значит, подставленная пара является решением исходного неравенства.

Ответ: да, пара (2; 1) является решением, потому что 4 > 3.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства y > 2x − 1.

Сначала отделим границу от области: если заменить знак неравенства знаком равенства, получится прямая. После её построения нужно выяснить, какая сторона соответствует знаку >. Так как неравенство строгое, точки самой прямой включать нельзя.

1. Строим граничную прямую y = 2x − 1. Например, при x = 0 получаем y = −1, а при x = 1 получаем y = 1; отмечаем точки (0; −1) и (1; 1) и проводим через них прямую.
2. Проводим её пунктиром, потому что знак > строгий. Для выбора стороны проверяем точку (0; 0), которая не лежит на этой прямой.
3. Подставляем координаты: 0 > 2 · 0 − 1, то есть 0 > −1. Это верно, поэтому нужна полуплоскость с точкой (0; 0).

Ответ: область выше прямой y = 2x − 1, сама прямая в решение не входит.

Изобразить множество решений системы y ≥ x − 2 и y < −x + 4.

Каждое неравенство задаёт свою полуплоскость, и решение системы должно лежать в обеих сразу. Поэтому нельзя выбрать только одну из областей или объединить их. Для наглядности каждую прямую и нужную сторону определяем отдельно, а затем оставляем пересечение.

1. Строим границы y = x − 2 и y = −x + 4. Первую проводим сплошной линией, так как знак ≥ включает равенство; вторую — пунктиром, так как знак < строгий.
2. Для первого условия проверяем (0; 0): 0 ≥ −2 — верно. Значит, выбираем полуплоскость с этой точкой, то есть область над прямой y = x − 2.
3. Для второго условия та же пробная точка даёт 0 < 4 — верно. Выбираем область с точкой (0; 0), расположенную ниже прямой y = −x + 4.
4. Оставляем только общую часть выбранных полуплоскостей. Граница первого условия входит в неё там, где соблюдено второе условие, а пунктирная граница второго не входит.

Ответ: общая область над прямой y = x − 2 и ниже прямой y = −x + 4; первая граница включена, вторая исключена.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что у неравенства есть только одна пара решений. Её допускают, потому что при проверке часто подставляют лишь одну пару и забывают, что условие может выполняться для многих пар. Проверь себя: найди ещё одну подходящую точку или посмотри, что решения образуют целую область.

Ошибка — заштриховать полуплоскость наугад. По одному расположению прямой нельзя понять, какая сторона подходит; выбор стороны зависит от знака неравенства. Подставь координаты точки вне прямой и проверь, верно ли числовое неравенство.

Ошибка — неверно отметить граничную прямую: включить её при строгом знаке или исключить при нестрогом. Это случается, если смотреть только на полуплоскость и не учитывать, что на границе получается равенство. Сверь знак: < и > означают пунктир, а ≤ и ≥ — сплошную линию.

Ошибка — принять объединение областей за решение системы. Так происходит, когда достаточно выполнения хотя бы одного условия по ошибке переносят на систему, где условия должны выполняться вместе. Проверь точку из ответа подстановкой во все неравенства: если одно из них неверно, точка не принадлежит решению.

Связь с другими темами

Для построения граничной прямой нужно уметь строить прямую по уравнению и находить координаты точек на плоскости. Проверка пробной точки опирается на знакомый приём: подставить числа в неравенство и выяснить, верно ли оно. Позже графическое решение систем поможет понимать системы уравнений и задачи линейного программирования. Во всех этих случаях важно читать условия по координатам и сопоставлять их на чертеже.

Что запомнить

• Решение неравенства с двумя переменными — пара чисел.
• Граница области решений задаётся соответствующим линейным уравнением.
• Строгое неравенство не включает граничную прямую.
• Нестрогое неравенство включает граничную прямую.
• Пробная точка помогает выбрать нужную полуплоскость.
• Решение системы — пересечение областей решений всех её неравенств.