46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Определения и обозначения

Линейное неравенство с двумя переменными — это неравенство вида ax + by > c, ax + by < c, ax + by ≥ c или ax + by ≤ c. Числа a и b не равны нулю одновременно, а x и y — переменные. Такой записью описывают зависимость между двумя величинами и множество точек на координатной плоскости.

Решение линейного неравенства с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой неравенство становится верным. Например, для неравенства x + y > 3 пара (1; 3) решением не является, потому что 1 + 3 > 3, наоборот, является: 4 > 3. Проверка подстановкой позволяет узнать, подходит ли конкретная точка.

Система линейных неравенств с двумя переменными — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Запись системы обычно объединяют фигурной скобкой, но главное в ней не обозначение, а общее требование к переменным. Системы используют, когда одна задача содержит сразу несколько ограничений.

Решение системы — пара чисел, являющаяся решением каждого неравенства системы. Если хотя бы одно условие не выполняется, пара не подходит для всей системы. Поэтому при графическом решении ищут не отдельные области, а их общую часть.

Как это устроено

Сначала рассмотрим равенство ax + by = c. Все точки, координаты которых удовлетворяют этому равенству, лежат на одной прямой: при b ≠ 0 её можно записать как y = (c − ax) / b, а при b = 0 получается вертикальная прямая. Прямая бесконечна и не имеет толщины, поэтому она разделяет плоскость на две части — две полуплоскости. По одну сторону выражение ax + by − c имеет один знак, а по другую — противоположный.

Чтобы выбрать нужную полуплоскость, строят граничную прямую, а затем берут удобную точку, которая на ней не лежит. Чаще всего удобно проверить точку (0; 0), если она не принадлежит прямой. Подстановка показывает, верно ли исходное неравенство в этой точке: если да, выбирают сторону с точкой, если нет — противоположную. Такой способ надёжнее, чем попытка определить область только по наклону прямой.

Граничная прямая входит в множество решений только тогда, когда её точки удовлетворяют неравенству. При строгом знаке > или < на границе получается равенство, а оно не подходит, поэтому линию рисуют пунктиром. При нестрогом знаке ≥ или ≤ равенство разрешено, и прямая входит в решение. Её изображают сплошной линией.

Для системы нужно выполнить все неравенства сразу. Поэтому сначала для каждого условия находят свою полуплоскость, а затем оставляют только точки, принадлежащие каждой выбранной области. Это общая часть областей, или их пересечение, а не вся территория, покрытая хотя бы одной из них.

Принадлежность заданной точки можно проверить и без чертежа. Для этого координаты точки подставляют в одно неравенство, а в системе — последовательно во все неравенства. Если каждое полученное утверждение верно, точка входит в область решений; если хотя бы одно ложно, не входит.

Графическое изображение линейных неравенств

Сначала найдите в таблице знак своего неравенства и определите, какой линией проводить границу. Затем постройте прямую по соответствующему равенству и выберите сторону проверкой точки. Для системы применяют это правило к каждому неравенству, а в ответе оставляют общую часть областей.

Разбор задач

Задача 1. Проверка пары чисел

Проверьте, является ли пара (1; 3) решением неравенства x + y > 3. Нужно понять, выполняется ли условие после замены x на 1 и y на 3. Отдельно строить график для такой проверки не требуется.

1. Подставим координаты пары: 1 + 3 > 3.
2. Вычислим левую часть: 4 > 3.
3. Полученное неравенство верно, значит, пара подходит.

Ответ: да, пара (1; 3) является решением.

Задача 2. Область одного неравенства

Изобразите множество решений неравенства 2x − y ≤ 4. Граница отделяет подходящие точки от неподходящих, а знак ≤ подсказывает, что сама граница должна войти в ответ. После построения прямой остаётся выбрать правильную сторону.

1. Заменим знак неравенства на равенство и построим прямую 2x − y = 4. Например, её можно записать как y = 2x − 4 и отметить точки (0; −4) и (2; 0).
2. Проведём прямую сплошной линией, потому что используется знак ≤.
3. Проверим точку (0; 0): 2 · 0 − 0 ≤ 4, то есть 0 ≤ 4 — верно.
4. Закрасим полуплоскость, содержащую начало координат, вместе с граничной прямой.

Ответ: полуплоскость 2x − y ≤ 4, включая прямую 2x − y = 4.

Задача 3. Система двух неравенств

Изобразите множество решений системы x + y ≥ 2, x − y < 0. Здесь нужны точки, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям. Поэтому после выбора двух полуплоскостей необходимо оставить только их пересечение.

1. Построим прямую x + y = 2, например через точки (0; 2) и (2; 0), и проведём её сплошной линией: знак ≥ включает границу.
2. Построим прямую x − y = 0, или y = x, и проведём её пунктиром: знак < исключает границу.
3. Для первого неравенства проверим точку (0; 3): 0 + 3 ≥ 2 — верно, значит, выбираем сторону выше прямой x + y = 2.
4. Для второго проверим ту же точку: 0 − 3 < 0 — верно, значит, выбираем сторону, содержащую точку (0; 3), то есть область над прямой y = x.
5. Закрасим общую часть выбранных полуплоскостей, включая первую границу и не включая вторую.

Ответ: пересечение областей x + y ≥ 2 и x − y < 0; прямая x + y = 2 входит, а прямая x − y = 0 не входит.

Типичные ошибки

Ошибка — считать решением отдельное число, а не пару координат. При двух переменных результатом является (x; y), потому что нужно задать сразу обе координаты точки. Проверьте себя: в подстановке должны появиться значения и для x, и для y.

Некоторые выбирают полуплоскость на глаз, не проверяя точку. Из-за этого легко перепутать стороны, особенно если прямая наклонена или записана необычно. Возьмите точку вне границы и подставьте её координаты: результат однозначно укажет нужную область.

Ещё одна ошибка — неверно изображать граничную прямую. Пунктир означает, что граница исключена, а сплошная линия — что включена. Сверяйте вид линии со знаком: > и < требуют пунктир, ≥ и ≤ — сплошную линию.

При решении системы иногда закрашивают объединение областей вместо пересечения. Объединение оставляет точки, подходящие хотя бы для одного условия, а системе нужны точки, подходящие для всех условий. Подставьте случайную точку из предполагаемого ответа в каждое неравенство и проверьте все сразу.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь строить прямую по уравнению, отмечать точки на координатной плоскости и проверять неравенства подстановкой. Эти навыки превращают запись неравенства в понятный чертёж.

Тема опирается на координатную плоскость и уравнение прямой. Понимание того, как прямая делит плоскость, помогает объяснить появление двух полуплоскостей и выбор одной из них.

Графическое решение систем неравенств пригодится при изучении линейного программирования и задач на ограничения величин. Там область решений показывает все допустимые сочетания значений переменных.

Что запомнить

• Решение линейного неравенства с двумя переменными — пара чисел.
• Граничная прямая задаётся соответствующим уравнением.
• Строгое неравенство не включает граничную прямую.
• Нестрогое неравенство включает граничную прямую.
• Нужную полуплоскость определяют проверкой точки.
• Решение системы — пересечение областей решений её неравенств.