"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Множество — это совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое: например, числа от 1 до 4. Его задают перечислением элементов или общим свойством. Знаки ∈ и ∉ показывают, входит ли объект в множество, а запись A ⊂ B означает, что каждый элемент A входит в B. Пустое множество не содержит элементов и является подмножеством любого множества. Эти понятия помогают точно описывать числовые группы и сравнивать их.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Его можно задать перечислением: A = {2, 4, 6}, или описанием свойства: B — множество чётных чисел от 2 до 6. Эти способы удобны в разных случаях: небольшой набор можно записать полностью, а большой — описать общим правилом. Важно, чтобы способ задания точно определял, какие объекты входят в множество.
Элемент множества — отдельный объект, входящий в это множество. Запись 4 ∈ A читается «4 принадлежит A», а 5 ∉ A — «5 не принадлежит A». Знаки помогают коротко записать результат проверки, не перечисляя каждый раз всё множество. Для проверки нужно выяснить, подходит ли объект под условие, которым задано множество.
Подмножество — множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству. Запись A ⊂ B означает, что все элементы A входят в B; например, {2, 4} ⊂ {2, 4, 6}. Знак ⊂ относится к двум множествам, а ∈ связывает отдельный элемент с множеством. Такое различие нужно, чтобы не спутать сравнение наборов объектов с проверкой одного объекта.
Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента; его обозначают ∅. Оно является подмножеством любого множества, потому что в нём нет элементов, которые могли бы не принадлежать этому множеству. Например, ∅ ⊂ {1, 2}. Это обозначение позволяет говорить о наборе, в котором не нашлось ни одного подходящего объекта.
Перечисление и описание свойства могут задавать одно и то же множество, если дают одинаковый набор элементов. Например, числа натурального ряда от 1 до 4 можно записать как {1, 2, 3, 4} или задать условием 1 ≤ x ≤ 4 для x ∈ N. Сравнить эти записи можно, проверив, что каждое перечисленное число подходит под условие и что условие не даёт других чисел. Так становится понятно, что форма записи меняется, а само множество остаётся тем же.
При проверке принадлежности не требуется угадывать, что имел в виду автор записи: достаточно применить указанное свойство к объекту. Если множество задано как числа, кратные 3, можно проверить деление на 3 без остатка. Число 9 подходит, поэтому оно принадлежит множеству, а 10 — нет. Такой способ особенно полезен, когда элементы не перечислены по одному, а описаны правилом.
Чтобы установить, является ли A подмножеством B, проверяют каждый элемент A и убеждаются, что он есть в B. Если хотя бы один элемент A не входит в B, включения A ⊂ B нет. Одного общего элемента недостаточно: например, множества {1, 5} и {1, 2, 3} пересекаются по числу 1, но первое не является подмножеством второго. Проверка всех элементов нужна именно потому, что условие включения относится к каждому элементу первого множества.
Множества равны, когда состоят из одних и тех же элементов. Это равносильно двум проверкам: A ⊂ B и B ⊂ A. Если проверить только A ⊂ B, в B могут остаться дополнительные элементы, которых нет в A. Поэтому взаимное включение исключает любые различия между наборами.
Если конечное множество содержит n элементов, у него 2ⁿ подмножеств. Для каждого элемента есть два варианта: включить его в подмножество или не включать, поэтому число вариантов равно 2 · 2 · … · 2 (n раз), то есть 2ⁿ. Например, у множества {a, b, c} их восемь. Среди подмножеств всегда есть пустое множество и исходное множество: можно не выбрать ни одного элемента или выбрать все.
Таблица помогает различать обозначения: сначала определите, сравниваются ли элемент и множество или два множества. Затем прочитайте математический смысл записи и сверьте его с примером. Если проверяете включение, не ограничивайтесь одним совпавшим элементом — просмотрите весь первый набор.
| Объект или отношение | Обозначение | Математический смысл | Пример |
|---|---|---|---|
| Элемент принадлежит множеству | ∈ | Объект входит в множество | 2 ∈ {1, 2, 3} |
| Элемент не принадлежит множеству | ∉ | Объект не входит в множество | 4 ∉ {1, 2, 3} |
| Одно множество является подмножеством другого | ⊂ | Каждый элемент первого множества входит во второе | {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} |
| Множества равны | A = B | Множества имеют одни и те же элементы | {1, 2} = {2, 1} |
| Пустое множество | ∅ | Множество без элементов | ∅ ⊂ {1, 2} |
Дано множество A = {2, 4, 6, 8}. Определить, верны ли записи 4 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∉ A и 10 ∉ A. Здесь множество задано перечислением, поэтому достаточно сравнить каждое число с указанными элементами. Проверяем по очереди, не меняя знак до проверки.
В ответе верны записи 4 ∈ A, 7 ∉ A и 10 ∉ A. Запись 5 ∈ A неверна: для неё подходит знак ∉. Такой разбор показывает, что нужно проверять сам факт вхождения числа, а не его близость к элементам множества.
Для A = {a, b, c} нужно выписать все подмножества и отметить собственные. Удобно составлять наборы по числу элементов, чтобы не потерять ни один вариант. Собственное подмножество входит в A, но не совпадает с A.
Ответ: всего восемь подмножеств — ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Собственными являются первые семь, потому что они не равны A. Проверка по числу элементов помогает убедиться в полноте списка: вариантов должно быть 2³ = 8.
Даны A = {1, 2, 3, 4}, B = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 4} и C = {1, 2, 3}. Нужно проверить A = B, C ⊂ A, A ⊂ C и 2 ∈ C. Сначала раскроем описание B, а затем отдельно рассмотрим отношения между множествами и принадлежность числа. Такое разделение помогает не путать знаки.
Ответ: A = B, C ⊂ A и 2 ∈ C — верные утверждения; A ⊂ C — неверное. Для последнего достаточно найти один элемент A, которого нет в C: это 4. При равенстве же потребовалось бы совпадение всех элементов обоих множеств.
Путают a ∈ A и {a} ⊂ A, потому что в обеих записях встречается один и тот же объект. Но в первой записи a — элемент, а во второй {a} — множество из одного элемента. Проверка простая: посмотрите, что стоит слева от знака — отдельный объект или набор в фигурных скобках.
Считают, что порядок записи или повтор элемента меняет множество, так как воспринимают его как список. Например, {1, 2} и {2, 1} содержат одинаковые числа, а запись {1, 1, 2} не добавляет нового элемента. Для самопроверки сравните, какие именно различные объекты входят в набор, не учитывая их расположение и повторы.
Делают вывод о включении после того, как находят один общий элемент. Это происходит, когда проверку подменяют поиском совпадения, хотя A ⊂ B требует, чтобы каждый элемент A находился в B. Выпишите все элементы первого множества и отметьте каждый; если хотя бы один не подходит, включения нет.
Забывают, что ∅ — подмножество любого множества, потому что пытаются найти в нём элементы для проверки. Но пустое множество не содержит ни одного элемента, который мог бы нарушить условие включения. Проверяя себя, спросите, есть ли в ∅ хоть один элемент вне второго множества: такого элемента нет.
Для работы с множествами полезно вспомнить натуральные, целые и рациональные числа: из них часто составляют числовые наборы. Также нужно уметь задавать объект перечислением или условием, чтобы переводить одну форму записи в другую. Позже подмножества помогут описывать числовые промежутки, объединение и пересечение множеств. Эти идеи применяются и при изучении функций: ими задают области определения и множества значений, а также классифицируют математические объекты.
Чем отличается элемент множества от подмножества?
Элемент — отдельный объект, который входит в множество: например, 2 ∈ {1, 2, 3}. Подмножество — это другое множество, все элементы которого входят в данное: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}. Поэтому знаки ∈ и ⊂ обозначают разные отношения.
Можно ли считать множество подмножеством самого себя?
Да. Каждый элемент множества A принадлежит A, поэтому A ⊂ A. Если подмножество не совпадает со всем множеством, его называют собственным.
Почему пустое множество является подмножеством любого множества?
Чтобы быть подмножеством, множество должно иметь только такие элементы, которые входят в другое множество. У пустого множества элементов нет, поэтому ни один из них не нарушает это условие. Значит, ∅ ⊂ A для любого множества A.
Как доказать, что два множества равны?
Нужно показать, что у них одни и те же элементы. Для этого проверяют включение в обе стороны: A ⊂ B и B ⊂ A. Одного включения недостаточно, потому что в другом множестве могут быть дополнительные элементы.
Имеет ли значение порядок записи элементов множества?
Нет, порядок записи не меняет множество: {1, 2, 3} и {3, 1, 2} — одно и то же множество. Повторные записи также не добавляют новых элементов, поэтому {1, 1, 2} совпадает с {1, 2}.
§ 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество
