§ 2. Операции над множествами

Определения и обозначения

Объединение множеств — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств; его обозначают A ∪ B. Например, в объединение входят и элементы только из A, и элементы только из B, и общие элементы. Это обозначение удобно, когда нужно собрать все объекты, подходящие хотя бы под одно из условий.

Пересечение множеств — множество элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам; его обозначают A ∩ B. В него попадают только общие элементы. Пересечение помогает выделить то, что есть сразу в двух наборах, например числа, удовлетворяющие двум условиям.

Разность множеств — множество элементов, принадлежащих первому множеству и не принадлежащих второму; её обозначают A \ B. Здесь сначала рассматривают элементы A, а затем убирают те, которые есть в B. Такая операция нужна, чтобы оставить объекты первого набора, не входящие во второй.

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента; его обозначают ∅. Оно может получиться, например, при пересечении множеств без общих элементов. Это обозначение позволяет записать результат операции, даже если в него ничего не входит.

Как это устроено

Чтобы определить, входит ли элемент x в объединение A ∪ B, достаточно проверить его принадлежность хотя бы одному множеству. Поэтому x подходит, если x ∈ A или x ∈ B; союз «или» здесь включает и случай, когда x есть в обоих множествах. На диаграмме Эйлера — Венна объединение изображают закрашиванием обоих кругов целиком, включая их общую часть.

Для пересечения проверка строже: элемент должен принадлежать A и одновременно B. Если x есть только в одном множестве, он не входит в A ∩ B, потому что не выполнено второе условие. На диаграмме закрашивают лишь область, где круги перекрываются; если перекрытия с элементами нет, пересечение равно ∅.

В разности A \ B отбирают элементы первого множества, которые не входят во второе. Поэтому на диаграмме оставляют часть круга A за пределами круга B, а общую область исключают. Порядок здесь меняет выбор исходного круга: в B \ A рассматривают уже элементы B, так что две разности обычно не совпадают.

Объединение и пересечение не меняются, если поменять множества местами: достаточно принадлежности хотя бы одному множеству для объединения и обоим для пересечения. Для разности такой симметрии нет, потому что первое множество задаёт, откуда выбирают элементы. Если A ⊂ B, то каждый элемент A уже есть в B: общая часть равна A, а объединение покрывает всё B, поэтому A ∩ B = A и A ∪ B = B.

Результат операции зависит от того, какие элементы входят в исходные множества, а не от порядка их записи. Например, множества {1, 2, 3} и {3, 1, 2} одинаковы: перечисление можно переставить, не изменив состав. При выполнении операции каждый подходящий элемент включают в ответ, но записывают только один раз, даже если он встретился в обоих наборах.

Операции над множествами

Пользуйтесь таблицей как проверкой: сначала определите операцию, затем примените её условие к каждому элементу. Слова «или», «и» и «не» помогают не перепутать объединение, пересечение и разность.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}. Найдите A ∪ B и A ∩ B. В объединение нужно взять элементы хотя бы из одного набора, а в пересечение — только те, которые встретились в обоих. Проверим каждый элемент, не повторяя одинаковые числа.

1. Соберём элементы A и B: получаются 1, 2, 3 и 4. Число 3 встречается дважды, но в множестве записывается один раз.
2. Для пересечения проверим общие элементы: число 3 принадлежит и A, и B. Остальные числа есть только в одном множестве.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3}. Получилось так, потому что для объединения достаточно одного исходного множества, а для пересечения необходимы оба. Повтор числа 3 в ответе не требуется.

Задача 2. Даны A = {a, b, c, d} и B = {b, d, e}. Найдите A \ B и B \ A. При поиске первой разности начинаем с A и вычёркиваем элементы, которые есть в B. Затем меняем исходное множество и выполняем проверку заново, а не переносим прежний результат.

1. Для A \ B просматриваем a, b, c, d. Элементы b и d есть в B, поэтому оставляем a и c.
2. Для B \ A начинаем с b, d, e. Элементы b и d есть в A, поэтому остаётся только e.

Ответ: A \ B = {a, c}, B \ A = {e}. Результаты различаются, потому что в каждом случае элементы выбирались из другого первого множества. Значит, переставлять A и B в разности без новой проверки нельзя.

Задача 3. На диаграмме Эйлера — Венна нужно заштриховать (A ∪ B) \ (A ∩ B) и описать область словами. Скобки показывают порядок действий: сначала рассматриваем всё объединение, затем исключаем пересечение. Поэтому недостаточно заштриховать только одну из частей диаграммы.

1. В A ∪ B входят оба круга целиком, включая область их наложения. Сначала выделяем именно эту область.
2. Из выделенного убираем A ∩ B — общую часть кругов. Остаются две части: только A и только B.
3. Проверяем словами: элемент должен принадлежать A или B, но не обоим одновременно. Это условие совпадает с оставшимися областями.

Ответ: нужно заштриховать части A и B вне их пересечения; это элементы, принадлежащие ровно одному из множеств. Общую часть оставляют незаштрихованной. Если круги не пересекаются, закрашенными окажутся оба круга целиком.

Типичные ошибки

Ошибка: в объединение включают только общие элементы, путая его с пересечением. Это происходит, когда слово «объединение» связывают лишь с совпадениями, хотя достаточно принадлежности хотя бы одному множеству. Проверьте каждый элемент: если он есть хотя бы в A или B, он должен попасть в A ∪ B.

Ошибка: в пересечение включают элементы, принадлежащие только одному множеству. Обычно проверяют лишь наличие элемента в одном наборе и забывают второе условие. Чтобы проверить себя, для каждого элемента из ответа спросите: «Он есть и в A, и в B?» Если нет, его нужно убрать.

Ошибка: считают, что A \ B = B \ A. Так происходит, когда не учитывают, что первое множество задаёт, откуда отбирают элементы. Запишите разности отдельно и начните каждую проверку с её первого множества; если наборы неодинаковы, результаты могут различаться.

Ошибка: повторяют элемент несколько раз в результате. Повтор появляется, если переписать объединённые списки подряд и не убрать совпадения. Напомните себе, что множество содержит каждый элемент не более одного раза, и перед записью ответа проверьте его на дубликаты.

Связь с другими темами

Перед изучением операций нужно уметь задавать множества перечислением элементов и проверять, принадлежит ли элемент множеству. Эти навыки позволяют применять условия объединения, пересечения и разности без путаницы. Позже операции пригодятся при работе с числовыми множествами и промежутками: например, при записи значений, подходящих к неравенствам. Объединение промежутков собирает решения одного или другого условия, а пересечение оставляет общие решения.

Что запомнить

• A ∪ B содержит элементы, принадлежащие A или B.
• A ∩ B содержит элементы, принадлежащие и A, и B.
• A \ B содержит элементы A, не принадлежащие B.
• Объединение и пересечение не зависят от порядка множеств.
• Разность зависит от порядка множеств.
• В множестве каждый элемент указывают только один раз.