1.1.2. Операции над множествами

Определения и обозначения

Объединение множеств A и B — это множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из них; его обозначают A ∪ B. Например, если элемент есть только в A, он всё равно попадёт в объединение. Эта операция нужна, когда требуется собрать все объекты из двух наборов без повторений.

Пересечение множеств A и B — множество их общих элементов, обозначаемое A ∩ B. Чтобы элемент оказался в пересечении, он должен принадлежать одновременно обоим множествам. Так находят объекты, которые удовлетворяют сразу двум признакам.

Разность множеств A и B, обозначаемая A \ B, состоит из элементов A, не принадлежащих B. Первое множество задаёт, откуда берут элементы, а второе — что нужно исключить. Разность помогает отобрать объекты одного набора, не входящие в другой.

Если задано универсальное множество U — множество всех рассматриваемых элементов, — дополнением A называют элементы U, не входящие в A. Его записывают как U \ A или как дополнение A. Это обозначение позволяет перечислить всё, что осталось за пределами A в выбранной области рассмотрения.

Как это устроено

При выполнении операции полезно проверять каждый элемент и задавать вопрос: входит ли он в результат? Для объединения достаточно принадлежности хотя бы одному исходному множеству, поэтому общие элементы тоже включаются, но записываются один раз. Для пересечения требуются сразу два условия — элемент должен быть и в A, и в B. Для разности проверяют принадлежность первому множеству и одновременно отсутствие во втором.

Объединение и пересечение не меняются при перестановке множеств: A ∪ B = B ∪ A и A ∩ B = B ∩ A. Причина в самих условиях: «хотя бы одному» и «обоим» не зависят от того, какое множество названо первым. Разность устроена иначе: A \ B выбирает элементы из A, а B \ A — из B. Поэтому, например, первое множество может содержать элементы, которых нет во втором, а обратное утверждение не будет верным.

На диаграмме Эйлера — Венна множества изображают кругами внутри области универсального множества. Для объединения закрашивают целиком круги A и B, включая их общую часть; для пересечения — только область, где круги перекрываются. В разности A \ B закрашивают часть круга A вне круга B. Для дополнения A закрашивают область U, лежащую за пределами круга A.

Любую операцию можно выполнить через условие для элемента x. Например, чтобы найти A ∩ B, перебирают элементы и оставляют те, для которых одновременно верны условия x ∈ A и x ∈ B. При поиске A \ B оставляют x, если x ∈ A и x ∉ B. Такой способ удобен, когда множества заданы перечислением: сначала сравнивают их элементы, затем записывают подходящие без повторов.

Дополнение связано с разностью напрямую: дополнение A относительно U — это U \ A. Здесь универсальное множество играет роль исходного, из которого удаляют все элементы A. Если изменить U, изменится и дополнение, даже если само A останется прежним. Поэтому без указания U дополнение однозначно найти нельзя.

Операции над множествами

В таблице x — произвольный элемент, а U — универсальное множество. Сопоставляйте условие принадлежности с тем, какие элементы нужно оставить: так проще не перепутать похожие операции. В частности, в разности проверяйте отдельно первое множество и отсутствие элемента во втором.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}. Найдите A ∪ B и A ∩ B.

1. Для объединения собираем элементы обоих множеств: 1, 2, 3 и 4. Число 3 встречается в обоих наборах, но в множестве его записывают только один раз.
2. Для пересечения ищем элементы, которые есть и в A, и в B. Таким элементом является только 3.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3}.

Задача 2. Даны A = {a, b, c, d} и B = {b, d, e}. Найдите A \ B и B \ A.

1. В A \ B начинаем с элементов A: a, b, c, d. Убираем b и d, потому что они принадлежат B; остаются a и c.
2. Теперь первым стоит B, поэтому рассматриваем b, d, e и убираем те, что есть в A. Общие b и d исключаем, оставляем e.
3. Результаты различаются, так как при смене порядка меняется исходное множество, из которого выбираются элементы.

Ответ: A \ B = {a, c}, B \ A = {e}.

Задача 3. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {3, 4}. Найдите дополнение A и множество (A ∪ B) \ B.

1. Дополнение A ищем только среди элементов U. Исключаем 1, 3, 5, входящие в A, и получаем {2, 4, 6}.
2. Сначала выполняем действие в скобках: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Число 3 учитываем один раз, потому что оно есть в обоих множествах.
3. Из найденного объединения удаляем элементы B, то есть 3 и 4. Остаются 1, 2 и 5; они принадлежат объединению и не принадлежат B.

Ответ: дополнение A равно {2, 4, 6}; (A ∪ B) \ B = {1, 2, 5}.

Типичные ошибки

Иногда в объединение записывают только общие элементы. Так происходит, если слово «объединение» путают с пересечением: на самом деле для объединения достаточно принадлежать хотя бы одному множеству. Проверьте каждый элемент обоих наборов: если он есть хотя бы в одном, включите его, а повторы удалите.

Другая ошибка — считать A \ B и B \ A одинаковыми. В разности первым записано множество, из которого берут элементы, поэтому перестановка меняет условие отбора. Чтобы проверить себя, подчеркните первое множество и проверяйте его элементы по очереди, исключая те, что входят во второе.

В A \ B иногда оставляют элемент, который принадлежит B. Это противоречит условию разности: в результате должны быть элементы A вне B. Для проверки возьмите каждый ответ и убедитесь сразу в двух вещах: он есть в A и его нет в B.

Дополнение пытаются найти, не зная универсального множества U. Тогда невозможно определить, какие элементы вообще допустимо рассматривать за пределами A: при разных U результат будет разным. Перед вычислением выпишите U, а затем оставьте его элементы, отсутствующие в A.

Связь с другими темами

Для работы с операциями нужны понятия множества, его элемента, принадлежности и подмножества, а также умение задавать набор перечислением или условием. Позже эти операции помогают описывать числовые множества и промежутки, в том числе при решении систем неравенств. Язык множеств также применяется в логике высказываний, при поиске областей определения и в задачах, где объекты распределяют по группам.

Что запомнить

• A ∪ B содержит элементы, принадлежащие A или B.
• A ∩ B содержит элементы, принадлежащие одновременно A и B.
• A \ B содержит элементы A, не принадлежащие B.
• Порядок множеств важен для разности.
• Дополнение A определяется только относительно универсального множества U.
• Объединение и пересечение можно изображать диаграммами Эйлера — Венна.