"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Множества помогают объединять числа по общему признаку и точно описывать, какие числа подходят для решения задачи. В параграфе вводятся обозначения принадлежности и включения, а также числовые множества: натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные. Главное — различать число и множество, уметь определять принадлежность числа и помнить, что числовые множества вложены друг в друга.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое; объекты называются элементами множества. Например, числа 2, 4 и 6 можно объединить в множество чётных чисел от 1 до 6. Это понятие помогает говорить сразу о группе объектов, а не перечислять их каждый раз в рассуждении.
Принадлежность элемента множеству обозначают символами ∈ и ∉. Запись a ∈ A читается «a принадлежит A»: объект a является одним из элементов множества A. Запись a ∉ A означает, что a не является элементом A; эти обозначения позволяют кратко и точно указывать, подходит ли объект под условие.
Подмножество — множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству. Запись A ⊂ B означает, что A является подмножеством B, то есть в A нет элементов, отсутствующих в B. Два множества равны, если в них совпадают все элементы: порядок перечисления и повторение элемента при этом роли не играют.
Числовые множества — множества чисел, обозначаемые N, Z, Q и R: натуральные, целые, рациональные и действительные. Рациональное число можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Такое определение помогает отличить числа, которые выражаются отношением целых чисел, от иррациональных.
Задать множество можно перечислением элементов или общим условием. Например, множество первых трёх положительных чётных чисел можно записать как {2, 4, 6}, а множество чётных чисел — описать условием «делятся на 2 без остатка». Порядок записи элементов не меняет множество: {2, 4, 6} и {6, 2, 4} содержат одни и те же числа. Повторная запись элемента тоже не создаёт нового элемента, потому что в множестве важен состав, а не порядок списка.
Числовые множества устроены как вложенные группы: натуральные числа входят в целые, целые — в рациональные, рациональные — в действительные. Это объясняется тем, что каждый элемент меньшей группы подходит и под определение следующей: например, любое целое число можно записать дробью со знаменателем 1. Поэтому используют цепочку N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Если число принадлежит N, оно автоматически принадлежит и Z, Q, R.
Действительные числа R включают рациональные и иррациональные. У рационального числа десятичная запись конечна или бесконечна с повторяющимся блоком цифр: например, 0,25 — конечная, а 0,272727… — периодическая. Если десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода, число иррационально; такова запись √2. Это различие связано с тем, что дробь целых чисел даёт конечную или периодическую десятичную запись.
Чтобы определить, какому множеству принадлежит число, проверьте его вид. Натуральное число — положительное целое из ряда 1, 2, 3, …; целое число не имеет дробной части и может быть отрицательным или равным нулю. Для проверки рациональности выясните, можно ли представить число дробью целых чисел с ненулевым знаменателем: например, 1,25 = 125/100 = 5/4. Если число не рациональное, но является числом на числовой прямой, оно относится к иррациональным и действительным.
Символы ∈ и ⊂ отвечают на разные вопросы. Запись 4 ∈ N говорит о числе и множестве: число 4 — элемент натуральных чисел; запись N ⊂ Z говорит о двух множествах: все натуральные числа входят в целые. Поэтому перед выбором знака проверьте, что стоит слева: отдельный объект или целое множество. Для объектов используют ∈ или ∉, а для включения множеств — ⊂.
| Множество | Обозначение | Какие числа входят | Примеры |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | N | Положительные целые числа | 1, 2, 3 |
| Целые числа | Z | Натуральные числа, противоположные им числа и ноль | −3, 0, 5 |
| Рациональные числа | Q | Числа, представимые дробью m/n, где m, n ∈ Z, n ≠ 0 | −2/3, 4, 1,25 |
| Иррациональные числа | R \ Q | Действительные числа, не представимые дробью целых чисел | √2, √3, π |
| Действительные числа | R | Рациональные и иррациональные числа | −4, 2/5, √2 |
| Включение числовых множеств | N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R | Каждое следующее множество содержит предыдущее | 5 ∈ N, Z ⊂ Q |
Пользуйтесь таблицей, сначала определяя вид числа, а затем сверяя его с соответствующим множеством. Учитывайте включение: принадлежность N автоматически означает принадлежность Z, Q и R. В последней строке записано отношение между множествами, а не принадлежность отдельного числа.
Задача 1. Определите, каким из множеств N, Z, Q, R принадлежат числа −4, 0, 3/5 и √2. Начнём с определения вида каждого числа, а затем применим вложенность множеств. Здесь N считаем множеством положительных натуральных чисел, поэтому ноль в него не входит.
Число −4 целое, но не натуральное, потому что оно отрицательное. Любое целое является рациональным: −4 = −4/1, а любое рациональное — действительным. Значит, −4 ∈ Z, Q, R и −4 ∉ N.
Ноль — целое число, а 0 = 0/1, поэтому он также рациональный и действительный. По принятому соглашению 0 ∉ N. Получаем 0 ∈ Z, Q, R.
Число 3/5 уже записано как отношение целых чисел с ненулевым знаменателем. Следовательно, оно рациональное и действительное, но не целое и не натуральное. Итак, 3/5 ∈ Q, R.
√2 не представляется дробью целых чисел, поэтому оно иррациональное. Оно является действительным, значит √2 ∈ R, но √2 ∉ N, Z, Q.
Ответ: −4 ∈ Z, Q, R; 0 ∈ Z, Q, R; 3/5 ∈ Q, R; √2 ∈ R.
Задача 2. Запишите 0,272727… в виде обыкновенной дроби и определите, к каким числовым множествам оно принадлежит. В записи повторяется блок 27, поэтому число рациональное. Чтобы найти дробь, обозначим число через x и используем повторение после сдвига запятой.
Пусть x = 0,272727… . Умножим обе части равенства на 100: 100x = 27,272727… . Умножение на 100 сдвигает запятую на длину периода, поэтому дробные части в двух записях совпадают.
Вычтем исходное равенство из полученного: 100x − x = 27,272727… − 0,272727… . Тогда 99x = 27, откуда x = 27/99 = 3/11. Знаменатель не равен нулю, а числитель и знаменатель целые, поэтому число рациональное.
Поскольку Q ⊂ R, всякое рациональное число также действительное. Дробь 3/11 не является целым или натуральным числом, поэтому принадлежит Q и R, но не Z и N.
Ответ: 0,272727… = 3/11; число принадлежит Q и R.
Задача 3. Распределите числа −7, 0, 5, 2/3, √3 и 1,25 по множествам N, Z, Q и R; запишите все верные отношения принадлежности и включения. Сначала классифицируем каждое число, затем для чисел из меньших множеств добавим принадлежность всем содержащим их множествам. В N здесь входят положительные целые числа.
Из чисел −7, 0 и 5 целыми являются все три, но натуральным является только 5. Так как −7 = −7/1, 0 = 0/1 и 5 = 5/1, все они также рациональные и действительные. Получаем −7 ∈ Z, Q, R; 0 ∈ Z, Q, R; 5 ∈ N, Z, Q, R.
Дробь 2/3 рациональная, а значит, действительная, но не целая и не натуральная. Конечную десятичную дробь преобразуем: 1,25 = 125/100 = 5/4. Поэтому 1,25 также принадлежит Q и R, но не Z и N.
Число √3 иррациональное, следовательно, оно не принадлежит Q. Оно действительное, поэтому √3 ∈ R, но √3 ∉ N, Z, Q. Между множествами сохраняются отношения N ⊂ Z, Z ⊂ Q и Q ⊂ R.
Ответ: N: 5; Z: −7, 0, 5; Q: −7, 0, 5, 2/3, 1,25; R: все шесть чисел. Верные включения: N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.
Можно ошибочно считать, что 0 обязательно натуральное число. Причина — разные соглашения: в одних источниках натуральный ряд начинают с нуля, в других — с единицы. Проверьте определение N в учебнике или условии; здесь принято N = {1, 2, 3, …}, поэтому 0 ∉ N.
Часто путают принадлежность и включение: пишут 3 ⊂ N или N ∈ Z. Ошибка возникает, если не различать отдельный объект и множество объектов. Проверьте, что стоит слева: число связывают с множеством знаком ∈, а множество с множеством — знаком ⊂.
Бесконечную десятичную дробь иногда считают иррациональной только из-за бесконечной записи. Но периодическая дробь рациональна: у неё повторяется блок цифр, например 0,272727… . Для проверки найдите период; иррациональной является бесконечная непериодическая запись.
Ещё одна ошибка — исключать отрицательные числа из R. Отрицательность не мешает числу быть действительным: например, −4 — целое, рациональное и действительное число. Проверьте, можно ли расположить число на числовой прямой; отрицательные рациональные и иррациональные числа тоже входят в R.
Для работы с числовыми множествами понадобятся знания о целых числах, обыкновенных и десятичных дробях, а также о числовой прямой. Позже эти множества помогут разбираться в интервалах и числовых неравенствах, а также находить область определения выражений и функций. Рациональные и иррациональные числа связаны с десятичными приближениями и вычислением корней: приближённая запись удобна для расчётов, даже если точное значение иррационально.
Почему число может принадлежать сразу нескольким числовым множествам?
Числовые множества вложены друг в друга: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные. Поэтому, например, число 5 одновременно натуральное, целое, рациональное и действительное.
Входит ли ноль в множество натуральных чисел?
Это зависит от принятого соглашения. В данном разборе натуральными считаются числа 1, 2, 3, …, поэтому 0 не входит в N; всегда сверяйтесь с обозначениями, принятыми в учебнике или задаче.
Чем знак ∈ отличается от знака ⊂?
Знак ∈ означает, что объект является элементом множества: 3 ∈ N. Знак ⊂ показывает, что одно множество целиком входит в другое: N ⊂ Z.
Как понять по десятичной записи, является ли число рациональным?
Рациональная десятичная запись конечна или бесконечна, но периодична: в бесконечной записи повторяется один и тот же блок цифр. Бесконечная непериодическая запись соответствует иррациональному числу.
Является ли √2 действительным числом, если его нельзя записать обыкновенной дробью?
Да. Число √2 иррациональное, но оно находится на числовой прямой, поэтому является действительным. Множество R состоит из рациональных и иррациональных чисел.
1.1.1 Основные понятия теории множеств. Числовые множества
