"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Множество — это совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. С помощью множеств удобно описывать и сравнивать группы чисел, фигур и других объектов, а также точно записывать условия. Главные понятия темы — принадлежность и включение; основные действия — объединение, пересечение, разность и дополнение. Чтобы правильно выполнять их, нужно следить за тем, какие элементы входят в каждое множество и как задан универсальный круг объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Например, множество можно задать перечислением: {2, 4, 6}, или условием: числа, делящиеся на 2. Перечисление удобно, когда объектов мало и все они известны. Условие помогает описывать большие или бесконечные совокупности.
Элемент множества — объект, который принадлежит этому множеству. Запись 3 ∈ {1, 2, 3} читают «3 принадлежит множеству», а 4 ∉ {1, 2, 3} — «4 не принадлежит множеству». Эти знаки позволяют коротко записывать, входит ли объект в рассматриваемую группу. Проверка принадлежности нужна и при задании множеств условием.
Подмножество — множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству. Запись A ⊆ B означает, что все элементы A входят в B. Чтобы установить равенство множеств, проверяют включение в обе стороны: A ⊆ B и B ⊆ A. Значит, множества равны, если у них совпадают элементы, даже когда они записаны в разном порядке.
Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента; его обозначают ∅. Например, среди натуральных чисел нет числа, которое одновременно было бы больше 5 и меньше 3, поэтому такое условие задаёт пустое множество. При этом {∅} — не пустое множество: оно содержит один элемент, которым является пустое множество. Различать эти записи нужно так же, как множество и любой другой его элемент.
Равенство множеств определяется совпадением элементов, потому что множество описывает состав группы, а не способ его записи. Поэтому {1, 2, 3} и {3, 2, 1} равны, как и множество чётных чисел от 2 до 6, заданное перечислением {2, 4, 6}. Повторная запись элемента тоже не создаёт нового объекта: {1, 1, 2} и {1, 2} задают одно множество. Чтобы сравнить два множества, удобно убедиться, что каждый элемент первого есть во втором и наоборот.
Включение A ⊆ B проверяют поэлементно: берут произвольный элемент A и показывают, что он принадлежит B. Такой способ нужен, потому что одного совпавшего элемента недостаточно для вывода о подмножестве. Например, {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}, так как оба элемента меньшего множества содержатся в большем. Если хотя бы один элемент A не входит в B, включения нет.
Объединение собирает элементы из двух множеств, а пересечение оставляет только те, которые есть в каждом из них. Это различие следует из условий «хотя бы в одном» и «одновременно в обоих». Например, для групп учеников, посещающих кружки, объединение охватит всех, кто посещает хотя бы один кружок, а пересечение — тех, кто посещает оба. При записи результата каждый объект указывают один раз.
Разность A \ B оставляет элементы первого множества A, которые не входят во второе B. Поэтому порядок важен: при перестановке множеств меняется, какие элементы исключаются. Если A = {1, 2, 3}, а B = {2, 3, 4}, то A \ B = {1}, тогда как B \ A = {4}. Разность не является способом просто найти элементы, которые встречаются только в одном из множеств сразу: каждое направление проверяют отдельно.
Универсальное множество U задаёт общий круг объектов, которые рассматриваются в задаче. Дополнение множества A — это объекты из U, не входящие в A; его обозначают A̅. Без указания U нельзя точно определить дополнение: например, числа, не входящие в A, могут пониматься как натуральные, целые или элементы другого заданного набора. Поэтому сначала выясняют границы рассматриваемого круга, а затем исключают элементы A.
| Операция | Обозначение | Условие принадлежности элемента результату |
|---|---|---|
| Объединение | A ∪ B | x ∈ A или x ∈ B (возможно, в обоих) |
| Пересечение | A ∩ B | x ∈ A и x ∈ B одновременно |
| Разность | A \ B | x ∈ A и x ∉ B |
| Дополнение A относительно универсального множества U | A̅ | x ∈ U и x ∉ A |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала установите, какое условие должно выполняться для элемента результата. Затем проверьте элементы исходных множеств по этому условию. Для дополнения обязательно учитывайте заданное универсальное множество U.
Даны A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}. Найдите A ∪ B и A ∩ B. Сначала отдельно проверим, какие элементы встречаются хотя бы в одном множестве и какие встречаются в обоих. Это позволяет не смешать два разных условия операции.
Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}. Проверка по определению подтверждает результат: в объединении есть элементы обоих множеств, а в пересечении — только общие. Заметьте, что элемент 5 попал только в объединение.
Для тех же A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5} найдите A \ B и B \ A, затем сравните результаты. Важно не искать просто общие или все разные элементы, а каждый раз начать с множества, стоящего слева. Из него исключаются элементы второго множества.
Ответ: A \ B = {1, 2}, B \ A = {5}; следовательно, A \ B ≠ B \ A. Проверить себя можно, убедившись, что первый результат состоит из элементов A, а второй — из элементов B. Ни один оставшийся элемент не должен принадлежать множеству, которое вычитают.
Дано U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 4, 6} и B = {1, 2, 3, 4}. Найдите дополнение A и множество (A ∪ B) \ A. Сначала определим, что именно может входить в ответы: в дополнение — только элементы U, а во втором выражении сначала требуется объединение. Выполнение действий по порядку помогает не потерять ограничения.
Ответ: A̅ = {1, 3, 5, 7}, (A ∪ B) \ A = {1, 3}. Для проверки дополнения каждый его элемент должен входить в U и не входить в A. Во втором результате должны остаться элементы объединения, не принадлежащие A; числа 5 и 7 туда не попали, поскольку их нет в A ∪ B.
Ошибка — считать, что порядок записи элементов меняет множество: {1, 2} и {2, 1} принимают за разные группы. Так происходит, если воспринимать список как последовательность, а не как состав множества. Проверка проста: сравните элементы, не обращая внимания на их расположение; при совпадающем составе множества равны.
Ошибка — повторно записывать один и тот же элемент в объединении. Обычно это случается, когда оба исходных множества просматривают целиком и не отмечают уже добавленные элементы. После составления результата проверьте, нет ли повторов: в множестве каждый объект указывают один раз.
Ошибка — путать пересечение с объединением и включать в пересечение все элементы из обоих множеств. Причина часто в том, что слово «общее» понимают как «относящееся к рассматриваемым группам». Перепроверьте каждый элемент пересечения: он должен принадлежать одновременно A и B, иначе его нужно убрать.
Ошибка — находить дополнение без заданного универсального множества. Тогда неясно, какие объекты вообще нужно проверять на отсутствие в A, и результат может оказаться неполным или слишком широким. Перед вычислением запишите U, а затем убедитесь, что каждый элемент дополнения входит в U и не входит в исходное множество.
Для работы с множествами нужно уметь различать объект и условие, по которому объект входит в совокупность. Например, запись «числа больше 3» задаёт правило отбора, но для конкретного числа ещё нужно проверить, выполняется ли это правило. Такое рассуждение помогает точно задавать множества и проверять принадлежность.
Подмножества показывают включение одной группы объектов в другую. Это удобно при классификации числовых множеств: например, натуральные числа можно рассматривать как часть целых. Сравнение по включению помогает увидеть, как связаны классы чисел и какие утверждения о них верны.
Операции над множествами пригодятся при разборе логических высказываний: объединению соответствует условие «или», а пересечению — «и». В вероятности группы исходов можно объединять, пересекать и исключать друг из друга. Такие же идеи помогают описывать области определения выражений через условия, которым должны удовлетворять допустимые значения.
Чем элемент множества отличается от подмножества?
Элемент — это отдельный объект, который принадлежит множеству, например 2 ∈ {1, 2, 3}. Подмножество — это множество, все элементы которого входят в другое множество: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}.
Может ли пустое множество быть подмножеством любого множества?
Да, ∅ является подмножеством любого множества. В нём нет элементов, которые могли бы не принадлежать другому множеству, поэтому условие включения выполняется.
Почему в объединении элементы не повторяют?
Множество учитывает, какие объекты входят в него, а не сколько раз они записаны. Поэтому каждый элемент объединения указывают один раз, даже если он есть в обоих исходных множествах.
Всегда ли A \ B равно B \ A?
Нет, разность зависит от порядка множеств: в A \ B остаются элементы A, которых нет в B. Например, для A = {1, 2} и B = {2, 3} получаются {1} и {3}.
Почему для нахождения дополнения нужно знать универсальное множество?
Дополнение состоит из элементов универсального множества, не принадлежащих данному множеству. Если изменить универсальное множество, изменится и набор элементов дополнения.
§ 1. Теория множеств
