"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Математическая логика помогает точно рассуждать и проверять, верно ли утверждение. Её основа — высказывания: предложения, которым можно приписать значение «истина» или «ложь». Из простых высказываний строят сложные с помощью слов «не», «и», «или», «если…, то…». Понимание этих связей помогает разбирать условия задач, доказывать утверждения и замечать ошибки в рассуждениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — повествовательное предложение, которому можно приписать одно из двух значений: истина или ложь. Например, «7 — простое число» — истинное высказывание, а «9 < 4» — ложное. Понятие нужно, чтобы рассуждать не о любых фразах, а о предложениях, истинность которых можно проверить.
Отрицание высказывания A — высказывание «не A», которое утверждает, что исходное A неверно. Если A истинно, его отрицание ложно, и наоборот. Это позволяет точно выразить противоположное утверждение и проверить, не перепутаны ли значения «истина» и «ложь».
Сложное высказывание получают, соединяя простые высказывания логическими словами: «и», «или», «если…, то…». Например, фраза «число чётное и больше 10» состоит из двух условий. Такое понятие помогает разбирать длинные условия задач на более простые части.
Не всякое предложение является высказыванием. Вопрос «Который час?» и просьба «Открой тетрадь» не сообщают факт, который можно оценить как истинный или ложный. Фраза «x больше 5» также не имеет постоянного значения, пока неизвестно, чему равно x. Это различие нужно, чтобы не приписывать истинность предложениям, для которых она ещё не определена.
Отрицание меняет значение истинности на противоположное, но не обязательно означает добавление частицы «не» к каждому слову. Например, отрицание фразы «все числа в списке чётные» — «не все числа в списке чётные», то есть найдётся хотя бы одно нечётное. Такое прочтение важно: фраза «все числа нечётные» не является её отрицанием, потому что в списке могут быть числа обоих видов.
Связка «и» требует одновременного выполнения двух частей. Высказывание «число делится на 2 и на 3» истинно лишь тогда, когда число делится и на 2, и на 3. Если хотя бы одно условие не выполнено, всё составное высказывание ложно. Поэтому в задачах со словом «и» нужно проверить каждую часть, а не выбрать одну из них.
Связка «или» в логике обычно означает, что истинно хотя бы одно из двух высказываний; оба тоже могут быть истинными. Например, число 6 удовлетворяет фразе «делится на 2 или делится на 3», поскольку выполняются сразу оба условия. В бытовой речи «или» иногда исключает одновременный выбор, поэтому при решении математической задачи следует ориентироваться на логическое значение связки.
Высказывание «если A, то B» называют импликацией: A — условие, B — следствие. Она ложна только тогда, когда условие A выполнено, а обещанное следствие B — нет; в остальных случаях импликация истинна. Это правило объясняет, почему нельзя опровергнуть утверждение примером, в котором исходное условие не выполняется: такой пример не проверяет обещанную связь.
Высказывание «A тогда и только тогда, когда B» утверждает, что A и B равносильны: каждое из них выполняется ровно в тех же случаях, что и другое. Поэтому оно истинно, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Проверять равносильность полезно в определениях и при преобразовании условий: нужно убедиться, что ни один возможный случай не потерян.
Таблица истинности перечисляет возможные значения простых высказываний и показывает результат логической операции для каждой строки. Если исходных высказываний два, сочетаний всего четыре: оба истинны, истинно только первое, истинно только второе, оба ложны. Таблица нужна, когда словесное правило трудно удержать в памяти: она позволяет проверить вывод систематически, не пропуская случаев.
| Связка | Обозначение словами | Когда высказывание истинно |
|---|---|---|
| Отрицание | не A | Когда A ложно |
| Конъюнкция | A и B | Когда истинны и A, и B |
| Дизъюнкция | A или B | Когда истинно хотя бы одно из A и B |
| Импликация | если A, то B | Во всех случаях, кроме истинного A и ложного B |
| Равносильность | A тогда и только тогда, когда B | Когда A и B имеют одинаковые значения истинности |
Пользуйся таблицей так: сначала выдели простые высказывания, затем определи связку и проверь условие истинности. Для импликации особенно полезно отдельно искать единственный случай, когда она ложна. Для «или» помни, что достаточно истинности хотя бы одной части.
Задача. Даны высказывания A: «число 12 делится на 3» и B: «число 12 нечётное». Определи истинность высказываний A и B, а также выражений не A, A и B, A или B и «если A, то B». Разберём их по очереди, чтобы не переносить значение одной части на всё сложное высказывание.
Проверим A: 12 делится на 3, поскольку 12 = 3 · 4. Значит, A истинно. Сначала важно установить это значение напрямую, а не по виду последующих выражений.
Проверим B: число 12 чётное, поэтому утверждение «12 нечётное» неверно. Значит, B ложно. Теперь у нас есть значения обеих простых частей: A — истина, B — ложь.
Найдём не A. Поскольку A истинно, его отрицание ложно. Здесь не нужно заново проверять делимость: правило отрицания сразу меняет значение истины на противоположное.
Проверим A и B. Для истинности связки «и» обе части должны быть истинными, но B ложно. Поэтому всё высказывание ложно, хотя первая часть верна.
Проверим A или B. При связке «или» достаточно хотя бы одной истинной части, а A истинно. Следовательно, A или B истинно, несмотря на ложность B.
Проверим «если A, то B». Условие A истинно, а следствие B ложно. Это единственный случай, когда импликация ложна, поэтому данное высказывание ложно.
Ответ: A истинно, B ложно; не A — ложно; A и B — ложно; A или B — истинно; «если A, то B» — ложно. Для проверки можно подставить значения A = истина и B = ложь в таблицу связок. Такой порядок помогает избежать ошибки, когда результат определяют по одному только слову «и» или «или».
Считать вопрос или команду высказыванием — ошибка, потому что им нельзя приписать истинность или ложность. Её допускают, если ориентируются на форму предложения, а не на его смысл. Проверь себя: предложение должно сообщать факт, который можно подтвердить или опровергнуть.
Путать отрицание фразы «все…» с фразой «ни один…» — ещё одна частая ошибка. Отрицание «все числа чётные» означает, что хотя бы одно число нечётное; остальные числа при этом могут быть чётными. Чтобы проверить себя, найди случай, при котором исходная фраза неверна, и убедись, что отрицание охватывает именно его.
При связке «и» иногда достаточно проверяют только одну часть, а при «или» требуют истинности обеих. Причина — привычное бытовое употребление слов, которое не всегда совпадает с логическим. Сверься с правилом: для «и» нужны две истины, для «или» — хотя бы одна.
Импликацию часто считают ложной, если следствие не выполнено, не проверяя условие. Но она опровергается только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно. Перед ответом выпиши значения обеих частей и сопоставь их с этим единственным случаем.
Логические связки встречаются в условиях алгебраических задач: выражение «x больше 2 и меньше 7» задаёт сразу два ограничения. Отрицание помогает правильно переходить к противоположному условию, например от «x принадлежит промежутку» к утверждению, что оно не выполняется. Импликация и равносильность нужны при доказательствах и преобразованиях: важно отличать переход, который сохраняет только следствие, от шага, сохраняющего условие в обе стороны. Навык разбирать высказывания помогает проверять решения и объяснять, почему каждый шаг верен.
§ 5. Элементы математической логики
