§ 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения

Определения и обозначения

Равносильные уравнения — это уравнения с одинаковыми множествами корней. Их записи могут отличаться: например, 3x − 5 = 10 и 3x = 15 равносильны, потому что оба имеют корень 5. Понятие помогает понять, какие преобразования не меняют ответ.

Уравнение-следствие — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения. У следствия могут появиться дополнительные решения, поэтому переход к нему не всегда позволяет сразу записать ответ. Такие решения называют посторонними корнями исходного уравнения.

Рациональное уравнение — уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями. В частности, переменная может находиться в знаменателе дроби, как в выражении 1/(x − 1). При решении таких уравнений нужно учитывать, что знаменатель не может быть равен нулю.

ОДЗ уравнения — множество значений переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. Для рационального уравнения из ОДЗ исключают значения, обращающие хотя бы один знаменатель в ноль. Эта проверка помогает не принять за корень значение, при котором исходная запись не определена.

Как это устроено

Если прибавить к обеим частям уравнения одно и то же выражение, равенство сохранится: равные величины останутся равными после одинакового изменения. Преобразование можно обратить вычитанием этого выражения, поэтому набор корней не изменится. Например, из x − 4 = 3 прибавлением 4 получаем x = 7, и обратное действие возвращает исходное уравнение.

Умножение или деление обеих частей сохраняет равносильность, когда выражение, на которое умножают или делят, не равно нулю. Тогда действие обратимо: умножение можно отменить делением, а деление — умножением. Если множитель может оказаться нулём, обратное действие уже не всегда возможно: например, равенство 0 · x = 0 верно при любом x, хотя делить его на 0 нельзя.

Чтобы различить равносильное преобразование и переход к уравнению-следствию, сравнивают множества корней и спрашивают, можно ли обратить действие. Если действие обратимо на рассматриваемых значениях переменной, корни сохраняются. Если обратный переход невозможен или требует дополнительного условия, у преобразованного уравнения могут появиться лишние решения, которые надо проверить.

ОДЗ находят до преобразований, потому что исходное рациональное уравнение определено не при каждом значении переменной. Умножение на знаменатель допустимо только там, где этот знаменатель не равен нулю. Предварительная запись ОДЗ сохраняет эти ограничения, даже если после умножения дроби исчезнут из записи.

Для решения рационального уравнения сначала находят ОДЗ, затем приводят дроби к общему знаменателю или умножают обе части на общий знаменатель. Полученное уравнение решают обычными способами, но его корни пока являются лишь кандидатами. В конце каждый кандидат сверяют с ОДЗ и, если есть сомнение в равносильности переходов, подставляют в исходное уравнение.

Преобразования уравнений и их последствия

Пользуйтесь таблицей каждый раз, когда выполняете преобразование: сначала определите его условие, затем оцените, могло ли измениться множество решений. Если обратимость не гарантирована, запишите ограничения и проверьте найденные корни в исходном уравнении. Для дробей первым делом сверяйтесь с ОДЗ.

Разбор задач

Решите уравнение 3x − 5 = 10.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 = 10 + 5, значит, 3x = 15. Прибавление обратимо, поэтому уравнения равносильны.
2. Разделим обе части на 3: x = 5. Число 3 не равно нулю, деление допустимо и сохраняет корень.
3. Проверим: 3 · 5 − 5 = 10. Равенство верно.

Ответ: 5.

Решите уравнение (x − 2)/(x + 1) = 0.

1. Сначала найдём ОДЗ: знаменатель x + 1 не должен равняться нулю, поэтому x ≠ −1.
2. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получаем x − 2 = 0, откуда x = 2.
3. Проверим ограничение: 2 ≠ −1. Подстановка в исходную дробь даёт 0/3 = 0, значит, корень подходит.

Ответ: 2.

Решите уравнение 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 1.

1. Знаменатели не должны обращаться в ноль: x ≠ 1 и x ≠ −1. Это ОДЗ уравнения.
2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1). Умножаем на него обе части, учитывая, что на ОДЗ он не равен нулю: (x + 1) + (x − 1) = (x − 1)(x + 1).
3. Упрощаем: 2x = x² − 1, то есть x² − 2x − 1 = 0. По формуле корней получаем x = 1 ± √2.
4. Ни 1 + √2, ни 1 − √2 не равны 1 или −1, поэтому оба числа принадлежат ОДЗ. Например, при подстановке сумма дробей сокращается до 2x/(x² − 1) = 1 именно в силу полученного равенства.

Ответ: 1 + √2; 1 − √2.

Типичные ошибки

Умножают обе части на выражение, не проверив, может ли оно быть нулём. Так допускают потерю обратимости действия и могут получить дополнительный корень; например, при умножении на x число x = 0 способно удовлетворить новому равенству автоматически. Перед умножением выясните, где множитель равен нулю, и проверьте такие значения отдельно.

Забывают записать ОДЗ рационального уравнения. Тогда в ответ может попасть число, при котором исходная дробь не определена, особенно если знаменатель исчез при умножении. Найдите нули каждого знаменателя до преобразований и исключите их из ответа.

После умножения на общий знаменатель считают все найденные корни допустимыми. Полученное уравнение рассматривается без прежних дробей, поэтому оно само по себе не напоминает о запрещённых значениях. Сверьте каждый корень с записанной ОДЗ, а при необходимости подставьте его в исходное уравнение.

Считают, что любое преобразование обязательно даёт равносильное уравнение. Это происходит потому, что многие привычные действия действительно обратимы, но, например, возведение в квадрат может скрыть знак, а умножение на возможный ноль — уничтожить информацию. Перед переходом подумайте, можно ли однозначно вернуться назад, и проверяйте корни, если нельзя.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся навыки решения линейных уравнений, выполнения тождественных преобразований и определения значений, при которых дробь не существует. Равносильность помогает контролировать преобразования уравнений более высоких степеней, а также уравнений с корнями и модулями. ОДЗ понадобится при решении дробных рациональных уравнений: она показывает, какие значения вообще можно проверять как корни.

Что запомнить

• Равносильные уравнения имеют одинаковые корни.
• Прибавление одного и того же выражения к обеим частям сохраняет равносильность.
• Умножать или делить обе части на выражение без оговорок можно, только если оно не равно нулю.
• Из уравнения-следствия могут появиться посторонние корни.
• В рациональном уравнении знаменатели не должны обращаться в ноль.
• Корни, найденные после преобразований, нужно сверить с ОДЗ и исходным уравнением.