§ 30 Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Определения и обозначения

Система уравнений с двумя переменными — несколько уравнений, для которых требуется найти общие значения переменных. Обычно переменные обозначают буквами x и y, а уравнения записывают рядом и объединяют фигурной скобкой. Это понятие нужно, когда одни и те же неизвестные связаны сразу несколькими условиями.

Решение системы — пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Пара записывается так: (x; y), потому что в ней должны быть указаны оба значения. Проверка решения состоит в подстановке этой пары во все уравнения, а не только в одно из них.

График линейного уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Для уравнения ax + by = c, где a и b не равны нулю одновременно, графиком является прямая. График позволяет заменить вычислительную задачу геометрическим поиском точек.

Графический метод решения системы — способ найти её решения по точкам пересечения графиков уравнений. Сначала строят график каждого уравнения, затем находят их общие точки. Координаты каждой общей точки и есть решения системы.

Как это устроено

Рассмотрим уравнение ax + by = c. Если b ≠ 0, его можно преобразовать к виду y = (c − ax) / b, то есть выразить y через x. Выбирая разные значения x и вычисляя соответствующие значения y, мы получаем точки одной прямой; двух точек достаточно, чтобы её провести. Если удобнее выразить x через y, можно действовать так же.

Пара значений становится решением системы только тогда, когда подходит сразу к каждому уравнению. На координатной плоскости это означает, что точка с координатами (x; y) должна лежать на каждом из построенных графиков. Поэтому общие решения двух уравнений соответствуют общим точкам их графиков: принадлежность первой прямой означает выполнение первого уравнения, а принадлежность второй — второго.

Две прямые могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. При пересечении общая точка одна, значит, система имеет одно решение; у параллельных прямых общих точек нет, поэтому решений нет. Если прямые совпадают, любая точка одной прямой принадлежит другой, и система имеет бесконечно много решений.

Порядок графического решения таков: привести каждое уравнение к удобному виду, построить две прямые и определить их взаимное положение. Если они пересекаются, считывают координаты точки пересечения и записывают пару (x; y). В конце полезно подставить найденные значения в оба исходных уравнения, особенно если координаты были определены по рисунку приблизительно.

Взаимное положение графиков и число решений системы

Таблица помогает быстро связать картину на координатной плоскости с ответом системы. Сначала определите, есть ли у прямых общая точка, а затем установите, не совпадают ли они полностью. При чтении координат с рисунка результат стоит дополнительно проверить подстановкой.

Разбор задач

Пересекающиеся прямые

Задача. Решите графически систему: y = x + 1, y = −x + 3. Обе записи уже имеют вид линейной функции, поэтому координаты точек для построения находятся простой подстановкой. Нужно найти единственную общую точку двух графиков.

1. Для первой прямой возьмём x = 0 и x = 1: получим точки (0; 1) и (1; 2). Для второй при x = 0 и x = 1 получим точки (0; 3) и (1; 2).
2. Проведём через пары точек две прямые. Они пересекаются в точке (1; 2), потому что обе формулы при x = 1 дают y = 2.
3. Координаты общей точки записываем как значения переменных. Проверка показывает: 2 = 1 + 1 и 2 = −1 + 3.

Ответ: (1; 2).

Совпадающие прямые

Задача. Решите графически систему: 2x + y = 4, 4x + 2y = 8. Второе уравнение похоже на первое, поэтому сначала сравним их после упрощения. Это помогает не принять одну и ту же прямую за две разные.

1. Из первого уравнения получаем y = 4 − 2x. Второе уравнение делим на 2 и получаем 2x + y = 4, то есть ту же самую формулу y = 4 − 2x.
2. При построении графиков обе линии полностью совпадут. Каждая точка этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ: бесконечно много решений: все пары (x; y), для которых y = 4 − 2x.

Параллельные прямые

Задача. Решите графически систему: y = 2x − 1, 2y = 4x + 2. Приведём второе уравнение к виду y = kx + b, чтобы сравнить прямые. Их угловые коэффициенты покажут, могут ли линии пересечься.

1. Из второго уравнения получаем y = 2x + 1. У обеих прямых угловой коэффициент равен 2, но свободные члены различны: −1 и 1.
2. Значит, прямые имеют одинаковое направление и не совпадают. На графике они будут параллельными и не пересекутся.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

Записывают только одно число вместо пары координат точки пересечения. Так происходит, когда находят значение x и забывают вычислить y, хотя система требует значения обеих переменных. Проверьте, записан ли ответ в форме (x; y) и удовлетворяют ли оба числа обоим уравнениям.

Считают приближённое чтение координат с рисунка точным. Масштаб, толщина линий и неточность построения могут изменить результат на клетку или её часть. Подставьте найденную пару в исходные уравнения и при необходимости запишите ответ как приближённый.

Объявляют систему не имеющей решений, если прямые не пересеклись в видимой области. Прямые продолжаются за пределы рисунка, поэтому отсутствие пересечения на маленьком фрагменте ещё ничего не доказывает. Сравните их направления и положения, а затем мысленно продолжите линии.

Не различают совпадающие и параллельные прямые. Совпадающие прямые имеют все общие точки, а параллельные и не совпадающие — ни одной, хотя на рисунке они могут выглядеть похоже. Сравните угловые коэффициенты и свободные члены после приведения уравнений к виду y = kx + b.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и строить график линейной функции по нескольким значениям. Эти навыки позволяют быстро получить две точки каждой прямой и увидеть её положение. Ошибка в координатах может изменить вывод о системе.

Понятие решения системы опирается на подстановку значений переменных в уравнение и проверку равенства. График лишь показывает то же условие геометрически: точка лежит на линии тогда и только тогда, когда её координаты подходят уравнению. Поэтому алгебраическая проверка дополняет рисунок.

Графический метод подготавливает к решению систем линейных уравнений другими способами, например подстановкой и сложением. В текстовых задачах система помогает описать несколько связанных неизвестных условий. После составления системы можно выбрать наиболее удобный способ решения.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять каждому её уравнению.
• График линейного уравнения с двумя переменными — прямая.
• Решения системы соответствуют общим точкам графиков её уравнений.
• Пересекающиеся прямые дают одно решение.
• Параллельные прямые не имеют общих точек, поэтому решений нет.
• Совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек.
• Найденную по графику пару можно проверить подстановкой в исходные уравнения.