"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Метод подстановки помогает найти значения двух переменных, при которых верны сразу оба уравнения системы. Для этого одну переменную выражают через другую, подставляют полученное выражение во второе уравнение и решают уравнение с одной переменной. Затем находят вторую переменную и проверяют пару в исходных уравнениях. Главная цель каждого шага — сохранить все решения системы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений с двумя переменными — это запись двух или нескольких уравнений, которые должны выполняться одновременно. Обычно переменные обозначают x и y, а уравнения объединяют фигурной скобкой. Система нужна, когда требуется найти такие значения обеих переменных, которые подходят сразу ко всем условиям.
Решение системы — пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Например, для x + y = 7 и y = 2 решением будет пара (5; 2). Пара помогает сразу указать оба значения и проверить, выполняются ли все уравнения.
Равносильные системы — это системы, имеющие один и тот же набор решений. При решении мы преобразуем уравнения, но не должны потерять подходящие пары или добавить неподходящие. Поэтому важно выполнять только такие действия, которые сохраняют равенство и решения системы.
Метод подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной переменной подставляют вместо неё в другое уравнение. Так два неизвестных постепенно сводятся к одному. После нахождения первой переменной можно вернуться к выражению и вычислить вторую.
Сначала нужно выбрать уравнение и переменную, которую удобно выразить. Лучше взять уравнение, где переменная уже стоит отдельно или её коэффициент равен 1 либо −1: выражение тогда получится проще. Это уменьшает число дробей и помогает избежать ошибок со знаками.
Выразив переменную через другую, подставь полученное выражение во второе уравнение вместо этой переменной. Скобки показывают, что на место неизвестной встаёт всё выражение целиком, а не только его часть. После подстановки в уравнении останется одна переменная, поэтому систему можно решать как обычное линейное уравнение.
Реши уравнение с одной переменной, выполняя одинаковые действия с обеими частями. Полученное значение подставь в выражение, которое составил в начале, и найди вторую переменную. Это необходимо, потому что найденный корень уравнения после подстановки — пока только одно значение из искомой пары.
Затем проверь оба значения в каждом исходном уравнении. Если подстановка превращает обе левые части в соответствующие правые, пара является решением системы. Ответ записывают парой чисел, например (3; 4), указывая значения переменных в том же порядке, что и в условии.
Если при выражении переменной её коэффициент не равен 1, раздели на него все остальные слагаемые. Например, из 3x + 2y = 8 получаем y = (8 − 3x) / 2, поэтому при подстановке появятся дроби. Их можно оставить и аккуратно преобразовать или умножить уравнение на общий знаменатель, обязательно умножая обе его части.
| Этап | Действие | Что получить |
|---|---|---|
| Выбор уравнения и переменной | Найти наиболее удобное уравнение и неизвестную | Простой способ выразить переменную |
| Выражение одной переменной через другую | Перенести слагаемые и разделить на коэффициент | Формулу для одной переменной |
| Подстановка выражения во второе уравнение | Заменить переменную полученным выражением | Уравнение с одной переменной |
| Решение уравнения с одной переменной | Выполнить равносильные преобразования | Значение одной переменной |
| Нахождение второй переменной | Подставить найденное значение в выражение | Полную пару значений |
| Проверка и запись ответа | Проверить оба уравнения и записать пару | Подтверждённое решение системы |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу, когда получил результат предыдущего. Если на проверке равенство не выполняется, вернись к преобразованиям и проверь знаки и подстановку. Записывай промежуточные вычисления, чтобы легче было найти ошибку.
Решите систему: x + y = 7, y = 2. Второе уравнение уже сообщает значение y, поэтому нет необходимости преобразовывать его. Подставим известное значение в первое уравнение, чтобы найти x.
Получили значения обеих переменных, и оба исходных равенства верны. Ответ: (5; 2).
Решите систему: x + y = 9, 2x − y = 3. В первом уравнении удобно выразить y, потому что его коэффициент равен 1. Подстановка выражения во второе уравнение оставит только x.
Знак минус перед скобками изменил знаки слагаемых внутри. Проверка подтверждает, что пара подходит обоим уравнениям. Ответ: (4; 5).
Решите систему: 3x + 2y = 8, 5x − 3y = 7. Здесь не получается сразу выразить переменную без деления, поэтому выберем y из первого уравнения. Дроби в последующих вычислениях допустимы, если аккуратно сохранять равенство.
При умножении на 2 мы умножили обе части уравнения, поэтому равенство сохранилось. Оба исходных уравнения верны для найденной пары. Ответ: (2; 1).
Переменную выражают с ошибкой: например, неверно переносят слагаемое или делят не все части выражения на коэффициент. Это часто происходит из-за спешки и невнимания к знаку. Проверь обратным действием: подставь полученную формулу в исходное уравнение и убедись, что равенство сохраняется.
Выражение подставляют не вместо той переменной или заменяют им только часть уравнения. Причина обычно в том, что неясно, какое место занимает выражение целиком. Заключай его в скобки и после подстановки проверь, что заменена именно нужная переменная во всём уравнении.
Иногда находят только одну переменную и останавливаются, принимая её за готовое решение. Но решение системы — пара значений, поэтому одной координаты недостаточно. Вернись к формуле для другой переменной, подставь найденное значение и запиши обе координаты.
Ещё одна ошибка — проверить пару только в преобразованном уравнении. Преобразования могли быть выполнены неверно, а значит, такой проверки недостаточно. Подставь пару в оба исходных уравнения и отдельно проверь, что левая и правая части каждого равны.
Для метода подстановки нужны навыки решения линейных уравнений с одной переменной и выражения одной переменной через другую. Также пригодятся действия с отрицательными числами и дробями, а ещё умение раскрывать скобки. Позже тот же подход помогает решать системы с тремя переменными и составлять системы по условиям текстовых задач: выражение одной величины подставляют в другое условие.
Как понять, какую переменную удобнее выразить?
Выбирай уравнение, в котором переменная уже стоит отдельно или её коэффициент равен 1 или −1. Тогда выражение получится коротким, и меньше вероятность ошибиться. Если такого уравнения нет, можно выбрать любое, но учитывай возможные дроби.
Можно ли выразить переменную из любого уравнения системы?
Да, если коэффициент при выбранной переменной не равен нулю: тогда можно разделить на него. Например, из 3x + 2y = 8 можно выразить y = (8 − 3x) / 2. При преобразованиях следи за знаками и дели все слагаемые на коэффициент.
Зачем подставлять найденное значение обратно в выражение?
Подстановка нужна, чтобы найти вторую переменную: после решения уравнения обычно известно значение только одной из них. Например, если x = 5, а из первого уравнения y = 7 − x, то y = 2. Так получается полная пара значений.
Что делать, если при подстановке получились дроби?
Решай уравнение обычными действиями с дробями: приводи дроби к общему знаменателю или умножай обе части на общий знаменатель. Умножать нужно обе части уравнения, чтобы сохранить равенство. В конце проверь найденные значения в исходной системе.
Почему недостаточно проверить ответ только в одном уравнении?
Решение системы должно одновременно подходить обоим уравнениям. Пара может сделать верным одно уравнение, но не удовлетворять другому. Поэтому подставь оба значения в каждое исходное уравнение.
§ 31 Решение систем линейных уравнений методом подстановки
