§ 32 Решение систем линейных уравнений методом сложения

Определения и обозначения

Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые должны выполняться при одной и той же паре значений переменных. Например, числа x = 3 и y = 2 должны одновременно подходить к обоим уравнениям системы. Это понятие помогает отличать систему от двух уравнений, которые решают по отдельности.

Решение системы — пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. В записи (x; y) на первом месте стоит значение x, а на втором — значение y. Чтобы пара была решением, недостаточно проверить её только в одном уравнении: она должна подходить к обоим.

Метод сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы исключить одну из переменных. Исключить переменную — значит получить уравнение, в котором её уже нет. Тогда сначала можно найти оставшуюся переменную, а затем вычислить исключённую.

Как это устроено

Почему сложение уравнений помогает решать систему? Если пара значений делает верным первое равенство и одновременно второе, то она делает верной и их сумму: складываются обе левые части и обе правые части. По той же причине можно вычесть одно равенство из другого, вычитая соответствующие части. Полученное уравнение является следствием исходных, поэтому подходящие для системы значения ему тоже удовлетворяют.

Сначала удобно посмотреть на коэффициенты при x и y. Коэффициенты — это числа, на которые умножаются переменные; например, в выражении 4x коэффициент при x равен 4. Если коэффициенты при выбранной переменной противоположны по знаку, при сложении они дают ноль: например, 3y + (−3y) = 0. Значит, переменная исчезает, а второе слагаемое и правые части уравнений остаются.

Иногда подходящих коэффициентов сразу нет. Тогда одно уравнение или оба можно умножить на ненулевое число, чтобы получить противоположные коэффициенты при одной переменной. Это не меняет решений: если равенство верно, то после умножения обеих его частей на одно и то же ненулевое число оно останется верным, и обратно можно разделить на это число. Умножать нужно каждый член уравнения, в том числе число справа.

Порядок решения такой: выбери переменную для исключения и, если нужно, преобразуй коэффициенты; сложи или вычти уравнения целиком. В полученном уравнении найди переменную, которая сохранилась, а затем подставь её значение в одно из исходных уравнений, чтобы вычислить вторую. Подстановка в исходное уравнение обычно позволяет обойтись без лишних преобразований.

В конце подставь найденную пару в оба исходных уравнения. Это нужно, потому что при вычислениях легко допустить арифметическую ошибку, а одно уравнение не подтверждает выполнение второго. Если после исключения переменной осталось верное числовое равенство, например 0 = 0, уравнения не дают противоречия и решений бесконечно много; если неверное, например 0 = 4, система несовместна и решений нет.

Выбор действий при решении системы методом сложения

Сначала выбери переменную, которую проще убрать, и сравни коэффициенты при ней. Таблица подсказывает, складывать уравнения, вычитать или сначала умножить их. После исключения проверь, получилось ли уравнение с переменной или только числовое равенство.

Разбор задач

1. Система: x + y = 7, x − y = 1

Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому y исчезнет при сложении. После нахождения x подставим его в одно из исходных уравнений. Так мы получим обе координаты решения.

1. Сложим уравнения целиком: (x + y) + (x − y) = 7 + 1.
2. Сократим противоположные слагаемые: 2x = 8, значит, x = 4.
3. Подставим x = 4 в первое уравнение: 4 + y = 7, откуда y = 3.
4. Проверим: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. Оба равенства верны.

Ответ: (4; 3).

2. Система: 2x + 3y = 13, 4x − 3y = 5

При y стоят противоположные коэффициенты 3 и −3, значит, складываем уравнения и находим x. Чтобы получить y, подставляем это значение в исходное уравнение. Проверка поможет убедиться, что ответ подходит обоим равенствам.

1. Сложим уравнения: (2x + 3y) + (4x − 3y) = 13 + 5.
2. Получим 6x = 18, поэтому x = 3.
3. Подставим в первое уравнение: 2 · 3 + 3y = 13, то есть 6 + 3y = 13. Тогда 3y = 7 и y = 7/3.
4. Проверим первое уравнение: 6 + 7 = 13. Во втором получаем 12 − 7 = 5, значит, пара подходит обоим.

Ответ: (3; 7/3).

3. Система: 2x + 3y = 7, 3x − 2y = 0

Здесь коэффициенты при каждой переменной пока не равны и не противоположны. Умножим первое уравнение на 2, второе — на 3: коэффициенты при y станут 6 и −6. После сложения найдём x, затем подстановкой — y.

1. Получим равносильные уравнения: 4x + 6y = 14 и 9x − 6y = 0. Все члены, в том числе правые части, умножены на выбранное число.
2. Сложим уравнения: 13x = 14, поэтому x = 14/13.
3. Подставим x во второе исходное уравнение: 3 · 14/13 − 2y = 0. Значит, 2y = 42/13 и y = 21/13.
4. Проверим: 2 · 14/13 + 3 · 21/13 = 7; 3 · 14/13 − 2 · 21/13 = 0. Оба исходных равенства верны.

Ответ: (14/13; 21/13).

Типичные ошибки

Складывают только левые части или только правые. При сложении равенств нужно сложить левые части друг с другом и правые друг с другом, иначе равенство нарушится. Ошибка часто возникает, когда действия записывают слишком быстро. Проверь, что запись выглядит так: левая часть первого плюс левая часть второго равна сумме правых частей.

Умножают уравнение на число, но забывают про свободный член. Например, при умножении 2x + y = 5 на 3 должно получиться 6x + 3y = 15, а не 6x + 3y = 5. Такое забытое умножение меняет уравнение и может привести к другой системе. Для самопроверки умножь на выбранное число каждый член, включая число после знака равенства.

Неверно находят оставшуюся переменную после сложения. После исключения переменной нужно точно сложить коэффициенты и правые части, а не продолжать считать исчезнувшую переменную. Эту ошибку допускают, если не записывают промежуточное уравнение. Перепиши результат сложения отдельной строкой и проверь арифметику.

Проверяют ответ только в преобразованных уравнениях. Преобразования могут скрыть ошибку или сделать проверку неудобной, поэтому найденную пару подставляют в оба исходных уравнения. Если одно равенство не выполняется, пара не является решением системы. Подставляй каждое значение в соответствующее место и вычисляй левую часть до конца.

Связь с другими темами

Для метода сложения нужны навыки решения линейных уравнений с одной переменной, преобразования выражений и действий с отрицательными числами. Его основа — свойство равенств: к обеим частям можно прибавить одно и то же выражение или умножить их на одно и то же ненулевое число. Этот метод помогает решать системы, составленные по текстовым задачам, и служит основой для изучения других способов решения систем.

Что запомнить

• Сложение или вычитание помогает исключить переменную, если её коэффициенты равны по модулю и противоположны по знаку.
• Чтобы получить такие коэффициенты, уравнение можно умножить на ненулевое число.
• При умножении уравнения на число умножают все его члены.
• После исключения переменной сначала находят одну неизвестную, затем подстановкой — другую.
• Найденную пару проверяют в обоих исходных уравнениях.
• Противоречивое числовое равенство означает, что система не имеет решений; верное равенство без переменных — что решений бесконечно много.