"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Система линейных уравнений помогает найти несколько неизвестных величин, если в условии есть связи между ними. Чтобы решить задачу, нужно обозначить неизвестные, перевести каждую подходящую связь в уравнение, а затем решить систему. Полученные значения проверяют не только подстановкой, но и по смыслу задачи: подходят ли они для количества предметов, скорости или других величин. Такой способ превращает текстовое условие в математическую модель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, уравнения x + y = 10 и x − y = 2 образуют систему для x и y. Это понятие нужно, когда одного условия недостаточно и требуется учесть сразу несколько связей.
Решение системы уравнений — значения неизвестных, при подстановке которых верны все уравнения системы. Важно, чтобы подходило не каждое значение по отдельности, а одна и та же пара чисел для всей системы. Так можно убедиться, что выбранные числа согласуются со всеми условиями задачи.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью неизвестных и уравнений. В ней словесные сведения превращаются в короткие математические записи, которые можно исследовать и решать. Модель помогает не потерять важные связи между величинами.
Составление системы уравнений — выбор неизвестных и запись связей между величинами в виде нескольких уравнений. Например, общий счёт и разница в цене дают две разные связи. Система нужна, чтобы использовать их вместе и найти неизвестные.
В текстовой задаче выбирают неизвестными именно те величины, которые требуется найти или без которых нельзя описать условие. Если неизвестных две, удобно обозначить их x и y, но буквам сразу нужно дать смысл: например, x — число тетрадей первого вида, y — второго. Тогда каждое число в уравнениях можно связать с конкретной величиной, а в конце не придётся угадывать, что означают найденные значения.
После выбора неизвестных найди в тексте количественные связи. Слова «всего», «на сколько больше», «стоит вместе» часто указывают на сумму или разность, а выражения о движении связывают расстояние, скорость и время. Переводи не отдельные слова, а всё отношение между величинами: если первая величина на 8 больше второй, получаем x = y + 8. Каждую самостоятельную связь записывай отдельным уравнением, иначе часть условия не будет использована.
Два уравнения системы не являются двумя вариантами на выбор: они должны быть верны одновременно. Каждое описывает своё условие, а общие неизвестные связывают эти условия. Поэтому пара, которая подходит только к одному уравнению, ещё не решает задачу; требуется найти значения, удовлетворяющие обоим.
Когда система составлена, её можно решить знакомым способом: выразить одну переменную и подставить её выражение в другое уравнение либо сложить уравнения так, чтобы одна переменная исчезла. Получатся значения неизвестных, например x = 4 и y = 3. После этого вернись к их обозначениям: если x обозначал скорость первого участника, то найденное для x число и есть эта скорость, а не ответ без пояснения.
Проверка нужна по двум причинам. Подстановка показывает, действительно ли пара чисел удовлетворяет системе, а проверка по смыслу — согласуются ли числа с исходной историей и требованиями к величинам. Например, отрицательное количество купленных тетрадей математически может возникнуть при ошибке в модели, но ответом задачи оно быть не может. Убедись также, что единицы измерения не перепутаны.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор неизвестных | Обозначить искомые величины буквами | Указать, что означает каждая буква |
| Составление уравнений по условию | Выделить количественные связи | Не перепутать сумму, разность и порядок величин |
| Запись системы | Объединить уравнения с общими неизвестными | Использовать все независимые условия |
| Решение системы | Найти значения всех неизвестных | Одна пара должна подходить каждому уравнению |
| Проверка и ответ | Проверить подстановкой и записать результат | Учесть смысл величин и единицы измерения |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда ясно, что сделано на предыдущем. Если при проверке условие не выполняется, вернись к составлению уравнений и найди, какая связь записана неверно. В ответе назови величины, а не только числа.
Сумма двух чисел равна 26, а первое число на 8 больше второго. Найдём оба числа. Обозначим первое число через x, второе — через y, чтобы слова о порядке чисел не потерялись.
Ответ: 17 и 9.
Купили 12 тетрадей двух видов: по 20 и по 35 рублей, заплатив 330 рублей. Нужно найти количество тетрадей каждого вида. Обозначим через x количество тетрадей по 20 рублей, а через y — по 35 рублей.
Ответ: купили 6 тетрадей по 20 рублей и 6 тетрадей по 35 рублей.
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 54 км и встретились через 2 часа. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Пусть x км/ч — скорость более медленного велосипедиста, тогда скорость второго равна x + 3 км/ч.
Ответ: скорости велосипедистов — 12 км/ч и 15 км/ч.
Если ввести неизвестные, но не пояснить, что они обозначают, легко перепутать значения при ответе. Так происходит, когда буквы выбирают механически и сразу переходят к вычислениям. Проверь себя: возле каждой буквы должна быть записана величина, а в ответе каждое найденное число должно быть сопоставлено с ней.
Иногда записывают только одно уравнение, хотя в условии есть две независимые связи. Одно уравнение с двумя неизвестными обычно допускает много пар значений и не определяет обе величины однозначно. Перечитай условие и отметь, использовано ли каждое отдельное количественное условие в записи системы.
При словах о сравнении можно перепутать порядок величин: фразу «первое на 5 больше второго» ошибочно записать как x = y − 5. Ошибка возникает, если не проверить смысл знака и порядок слов. Подставь простые подходящие числа или переставь величины в исходную фразу: большее значение должно получиться прибавлением 5.
Найденные значения нельзя сразу объявлять ответом без проверки. Решение системы может быть верным вычислительно, но не подходить условию из-за ошибки в модели или невозможного значения. Подставь пару в оба уравнения, затем проверь смысл величин: например, количество должно быть неотрицательным целым числом, а скорость — иметь единицы км/ч.
Перед решением таких задач нужно уметь обозначать неизвестные переменными, составлять и решать системы линейных уравнений. Составление модели опирается на знание связей между величинами: суммы и разности, цены и стоимости, расстояния и времени движения. Если эти зависимости знакомы, словесное условие проще перевести в уравнения.
Тот же способ применяют не только в алгебре. В физике с помощью системы можно одновременно находить несколько неизвестных величин, связанных условиями задачи. Он пригодится и в других разделах математики, где нужно учитывать несколько условий сразу.
Как понять, какие величины выбрать за неизвестные?
Выбирай те величины, которые нужно найти по условию. Если неизвестных две, обозначь их разными буквами и сразу запиши, что означает каждая.
Почему для задачи нужно составить именно два уравнения?
Для двух неизвестных обычно нужны две независимые связи, чтобы определить оба значения. Каждое уравнение записывает отдельное условие задачи.
Как перевести слова «на столько-то больше» в уравнение?
Если первая величина на 8 больше второй, запиши: x = y + 8. Можно также записать равносильное уравнение x − y = 8.
Что делать после того, как система решена?
Соотнеси найденные значения с теми величинами, которые обозначал буквами. Затем проверь их в уравнениях и в исходном условии, после чего запиши ответ с нужными единицами.
Зачем проверять ответ в условии задачи?
Подстановка помогает убедиться, что числа удовлетворяют всем записанным связям. Проверка по смыслу выявляет, например, отрицательное количество предметов или неподходящие единицы измерения.
§ 33 Решение задач с помощью систем линейных уравнений
