§ 34 Рациональные дроби

Определения и обозначения

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, (x + 2)/(x − 3) — рациональная дробь, потому что обе её части являются многочленами. При этом знаменатель не должен равняться нулю. Это условие нужно, чтобы деление было определено.

Числитель рациональной дроби — многочлен, записанный над чертой дроби. В дроби (2x + 1)/(x + 4) числитель — 2x + 1. Он показывает, какое выражение делят на знаменатель, а его значения сами по себе не запрещают подставлять переменную.

Знаменатель рациональной дроби — многочлен, записанный под чертой. Например, в дроби (x − 5)/(x² − 9) знаменатель — x² − 9. Если при некотором значении переменной он становится нулём, дробь при этом значении не имеет смысла, поэтому его исключают.

Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель рациональной дроби не равен нулю. Чтобы определить их, проверяют именно знаменатель. Это позволяет заранее понять, какие числа можно подставлять в выражение, не выполняя деление на ноль.

Как это устроено

Чтобы распознать рациональную дробь, проверь, что выражение записано как частное и что обе его части — многочлены. Например, (x + 2)/(x − 3) подходит: сверху и снизу стоят многочлены. Если выражение имеет другой вид, нельзя называть его рациональной дробью, не проверив состав числителя и знаменателя. Такая проверка помогает отличить дробь от выражения, которое только внешне похоже на неё.

Переменная в знаменателе означает, что при разных её значениях знаменатель может меняться. Если он обращается в ноль, мы получаем деление на ноль, а оно не определено. Поэтому дробь с переменной в знаменателе подходит не при всех значениях переменной. Запрет связан не с самой переменной, а с тем, что происходит со знаменателем.

Для поиска допустимых значений сначала выпиши знаменатель, затем приравняй его к нулю и реши полученное уравнение. Найденные корни делают знаменатель нулевым, поэтому их исключают. Например, у знаменателя x + 4 уравнение x + 4 = 0 даёт x = −4; допустимы все значения, кроме −4. Если уравнение имеет несколько корней, исключить нужно каждый из них.

Целое выражение, то есть многочлен без дробной черты, тоже можно записать как дробь: например, x + 1 = (x + 1)/1. Знаменатель 1 никогда не равен нулю, поэтому такое выражение определено при любом значении переменной. Если знаменатель — постоянное число, достаточно проверить, что оно не равно нулю. Например, в (x + 2)/5 ограничений на x нет, а делить на ноль нельзя и здесь.

При преобразовании дроби иногда можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Но сокращение меняет запись, а не исходное условие: значения, при которых первоначальный знаменатель равнялся нулю, по-прежнему исключены. Например, в (x − 1)/(x − 1) исходное выражение не определено при x = 1, хотя после сокращения получается 1. Поэтому ограничения записывают до упрощения и сохраняют в ответе.

Рациональная дробь и допустимые значения переменной

Пользуйся таблицей в таком порядке: сначала распознай дробь, затем проверь её знаменатель. Для поиска запретных значений реши уравнение, в котором знаменатель приравнен к нулю. Если знаменатель постоянный, проверь, что он ненулевой.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли выражение (x + 2)/(x − 3) рациональной дробью, и назвать её числитель и знаменатель. Нужно проверить обе части и не забыть, что знаменатель влияет на допустимые значения. Сначала определим вид выражения, затем проверим условие для знаменателя.

1. Выражение записано как частное двух многочленов: x + 2 и x − 3. Значит, оно является рациональной дробью.
2. Многочлен над чертой, x + 2, — числитель; многочлен под чертой, x − 3, — знаменатель.
3. Из условия x − 3 ≠ 0 получаем x ≠ 3. Это значение нужно исключить.

Ответ: да, это рациональная дробь; числитель — x + 2, знаменатель — x − 3, допустимы все x, кроме 3.

Задача 2. Найти допустимые значения переменной в дроби (2x + 1)/(x + 4). Числитель здесь не определяет запрет: нужно исследовать только знаменатель. Если найти значение, при котором он обращается в ноль, его следует исключить.

1. Записываем знаменатель: x + 4.
2. Приравниваем его к нулю: x + 4 = 0, откуда x = −4.
3. Исключаем найденное значение, поскольку при x = −4 дробь делила бы на ноль.

Ответ: допустимы все значения переменной, кроме x = −4.

Задача 3. Найти допустимые значения переменной в дроби (x − 5)/(x² − 9) и записать их. У знаменателя два корня, поэтому важно найти оба, а не остановиться после первого. Разность квадратов x² − 9 раскладывается на множители: (x − 3)(x + 3).

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x² − 9 = 0.
2. Решаем уравнение: x² = 9, поэтому x = 3 или x = −3.
3. Исключаем оба значения: при каждом знаменатель равен нулю.

Ответ: допустимы все значения x, для которых x ≠ −3 и x ≠ 3.

Типичные ошибки

Считать допустимыми все значения переменной, не проверив знаменатель, — значит не заметить возможность деления на ноль. Так бывает, когда внимание сосредоточено только на числителе. Для проверки подставь подозрительное значение в знаменатель: если получился ноль, значение недопустимо.

Иногда при поиске ограничений приравнивают к нулю числитель. Это не создаёт запрета: нулевой числитель при ненулевом знаменателе просто даёт дробь, равную нулю. Ошибку легко проверить, задав вопрос: какое действие станет невозможным? Запрет появляется только тогда, когда нулевым становится знаменатель.

Если уравнение для знаменателя имеет несколько корней, можно случайно исключить только один. Причина — остановиться после первого найденного решения или не проверить разложение на множители. Реши уравнение до конца и подставь каждый корень в исходный знаменатель: каждый должен дать ноль.

После сокращения дроби иногда забывают ограничения первоначального знаменателя. Упрощённая запись может выглядеть определённой при значении, которое раньше давало деление на ноль. Чтобы себя проверить, найди ограничения до преобразования и сохрани их рядом с результатом.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными дробями нужно уметь распознавать многочлены и находить их значения при заданной переменной. Ещё понадобится решать простейшие линейные уравнения, например x + 4 = 0, чтобы находить нули знаменателя. Эти умения помогают верно определить, какие значения переменной допустимы.

Понимание знаменателя и ограничений пригодится при сокращении и преобразовании рациональных дробей. Оно также нужно при сложении, вычитании, умножении и делении дробей. Если вовремя определить допустимые значения, можно выполнять преобразования и не включать в ответ запрещённые значения.

Что запомнить

• Рациональная дробь — частное двух многочленов.
• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• Допустимые значения находят по знаменателю.
• Нули знаменателя исключают из допустимых значений.
• Ограничения исходной дроби сохраняются после упрощения.
• Многочлен можно записать как дробь со знаменателем 1.