§ 35 Основное свойство рациональной дроби

Определения и обозначения

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, 3x/(x + 1) — рациональная дробь, если x + 1 ≠ 0. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено; это условие нужно проверять до любых преобразований.

Допустимое значение переменной — такое значение, при котором знаменатель рациональной дроби не обращается в ноль. Для дроби 3x/(x + 1) значение x = −1 недопустимо, а остальные значения допустимы. Это понятие помогает сразу определить, при каких значениях дробь имеет смысл.

Основное свойство рациональной дроби позволяет умножать или делить её числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение. Если A, B и C — выражения, то A/B = (A·C)/(B·C), когда B ≠ 0 и C ≠ 0. Свойство нужно, чтобы менять запись дроби, не меняя её значения при допустимых значениях переменной.

Сокращение рациональной дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий ненулевой множитель. Например, общий множитель можно убрать из дроби только при условии, что он не равен нулю. При сокращении также сохраняют ограничения, которые следуют из знаменателя исходной дроби.

Как это устроено

Пусть числитель и знаменатель дроби умножили на одно и то же ненулевое выражение C. Это равносильно умножению дроби на C/C, то есть на единицу. Поэтому значение дроби не меняется, но её запись становится другой; например, так можно получить более удобный знаменатель.

Чтобы получить равную рациональную дробь, нужно умножить на выбранное выражение и верхнюю, и нижнюю части дроби. Например, чтобы у дроби 1/x получить знаменатель 2x, нужно умножить числитель и знаменатель на 2. При этом исходный знаменатель должен быть ненулевым, а множитель, на который умножают, также не должен быть равен нулю.

Деление числителя и знаменателя на общий множитель — обратное применение того же свойства. Если числитель и знаменатель содержат общий множитель C, то их можно разделить на C и получить более короткую запись. Это допустимо лишь при C ≠ 0: при C = 0 деление невозможно, а знаменатель дроби может обращаться в ноль.

Перед сокращением многочлены раскладывают на множители, потому что сокращать можно только одинаковые множители. Например, x² − 9 раскладывается как (x − 3)(x + 3), и тогда общий множитель можно увидеть. После сокращения обязательно оставляют ограничения исходного знаменателя: исчезнувший множитель не отменяет того, что при его нулевом значении первоначальная дробь не имела смысла.

Основное свойство помогает привести дробь к заданному знаменателю или записать её проще. Для заданного знаменателя находят, какого множителя не хватает в текущем знаменателе, и домножают на него числитель и знаменатель. Для упрощения, наоборот, ищут общий множитель сверху и снизу и делят на него, не забывая проверить ограничения.

Применение основного свойства рациональной дроби

Сначала выбери цель: получить другой знаменатель или упростить дробь. Затем проверь, какое выражение нужно для преобразования и не может ли оно обратиться в ноль. Ограничения всегда определяй по исходному знаменателю.

Разбор задач

Задача 1. Преобразовать дробь 3x/(5x) в более простой вид и указать допустимые значения переменной. Сначала проверяем знаменатель: 5x не должен быть равен нулю, значит, x ≠ 0. В числителе и знаменателе есть общий множитель x, который можно сократить при этом условии.

1. Записываем ограничение из исходного знаменателя: 5x ≠ 0, поэтому x ≠ 0.
2. Делим числитель и знаменатель на общий множитель x: 3x/(5x) = 3/5.
3. Оставляем ограничение x ≠ 0, хотя в записи 3/5 переменная уже не видна.

Ответ: 3/5, x ≠ 0. Ограничение осталось, потому что при x = 0 исходный знаменатель равен нулю.

Задача 2. Сократить дробь (x² − 9)/(x + 3), разложив числитель на множители. Сначала находим запрещённое значение по исходному знаменателю: x + 3 ≠ 0, значит, x ≠ −3. Затем используем формулу разности квадратов и ищем общий множитель.

1. Разлагаем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Сокращаем общий множитель x + 3: ((x − 3)(x + 3))/(x + 3) = x − 3.
3. Записываем ограничение исходной дроби: x ≠ −3.

Ответ: x − 3, x ≠ −3. При x = −3 исходная дробь не определена, поэтому это значение нельзя добавить после сокращения.

Задача 3. Сократить дробь (2x² − 8)/(x² − 4x + 4) и записать ограничения. У знаменателя может быть общий множитель с числителем, но сначала нужно разложить оба многочлена. Ограничение определяем по исходному знаменателю, а не по результату сокращения.

1. Раскладываем числитель: 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2).
2. Раскладываем знаменатель: x² − 4x + 4 = (x − 2)².
3. Из исходного знаменателя получаем (x − 2)² ≠ 0, поэтому x ≠ 2.
4. Сокращаем один общий множитель x − 2: 2(x − 2)(x + 2)/(x − 2)² = 2(x + 2)/(x − 2).

Ответ: 2(x + 2)/(x − 2), x ≠ 2. При этом значении знаменатель первоначальной дроби обращался в ноль.

Типичные ошибки

Ошибка: делить числитель на один множитель, а знаменатель — на другой. Основное свойство требует делить обе части дроби на один и тот же общий ненулевой множитель, иначе равенство может нарушиться. Проверка: выпиши множитель, на который сокращаешь, и убедись, что он одинаков в числителе и знаменателе.

Ошибка: сокращать слагаемые, например пытаться убрать x в дроби (x + 2)/x. Так поступают, потому что общие буквы в записи выглядят как общие множители, но x и x + 2 — не множители всей дроби. Проверка: сначала разложи числитель и знаменатель на множители; сокращать можно только одинаковые множители.

Ошибка: забыть значения переменной, при которых исходный знаменатель равен нулю. После преобразования ограничение может стать незаметным, особенно если общий множитель сократился. Проверка: найди нули знаменателя до сокращения и запиши их отдельно.

Ошибка: считать, что после сокращения запрещённое значение стало допустимым. Сокращённая дробь иногда имеет смысл при значении, при котором исходная дробь не была определена, но исходное ограничение сохраняется. Проверка: подставь это значение в исходный знаменатель, а не только в результат.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь работать с числовыми дробями, помнить условие существования дроби и выполнять действия с одночленами и многочленами. Сокращение рациональных дробей опирается на разложение многочленов на множители. Это помогает упрощать алгебраические выражения и готовит к сложению и вычитанию рациональных дробей: для них дроби приводят к общему знаменателю.

Что запомнить

• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• Числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же ненулевое выражение.
• Числитель и знаменатель можно разделить на один и тот же общий ненулевой множитель.
• Сокращают только множители, а не слагаемые.
• Перед сокращением полезно разложить числитель и знаменатель на множители.
• Ограничения на переменную определяют по исходному знаменателю и сохраняют после сокращения.
• Основное свойство не изменяет значения рациональной дроби при допустимых значениях переменной.