"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Рациональные дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по числителям, оставляя знаменатель без изменения. Это правило помогает упрощать выражения с переменными и выполнять преобразования, нужные при решении уравнений. Перед вычислениями нужно проверить, при каких значениях знаменатель равен нулю, а после — аккуратно раскрыть скобки и, если возможно, сократить результат. Ограничения на переменные сохраняются даже после сокращения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, (x + 1)/(x − 2) — рациональная дробь, а её знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому при x = 2 эта дробь не имеет значения. Это определение помогает увидеть, какие выражения можно преобразовывать и какие значения переменной нужно исключить.
Допустимые значения переменных — это значения, при которых знаменатель рациональной дроби не обращается в нуль. Их находят, приравнивая знаменатель к нулю и решая полученное уравнение. Например, для знаменателя x − 5 запрещено x = 5, а остальные значения допустимы. Такие ограничения нужно учитывать во всех дальнейших преобразованиях.
Сложение рациональных дробей с одинаковыми знаменателями — действие, при котором знаменатель оставляют прежним, а числители складывают. Например, A/C + B/C = (A + B)/C при C ≠ 0. Буквы A, B и C здесь обозначают выражения, причём C — общий знаменатель. Правило позволяет объединить дроби в одну, не меняя размера частей.
Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями — действие, при котором знаменатель сохраняют, а из первого числителя вычитают второй. Запись имеет вид A/C − B/C = (A − B)/C при C ≠ 0. Если числители состоят из нескольких слагаемых, второй нужно заключить в скобки. Это помогает правильно изменить знаки при вычитании.
Знаменатель указывает, на сколько равных частей разделена единица, а числитель — сколько таких частей взято. Если знаменатель общий, все части имеют одинаковый размер, поэтому при сложении достаточно посчитать их общее количество. Именно поэтому знаменатель остаётся без изменения, а действия выполняются только с числителями. Для рациональных дробей рассуждение такое же, хотя вместо чисел в числителях и знаменателях стоят выражения.
Правило для рациональных дробей получается из правила для обыкновенных дробей. Например, 2/7 + 3/7 = 5/7: складываются числа частей, а размер каждой части не меняется. Если вместо чисел в числителях стоят многочлены A и B, получаем A/C + B/C = (A + B)/C. Общий знаменатель C при этом должен быть отличен от нуля.
Вычитание можно представить как прибавление противоположного выражения: A/C − B/C = A/C + (−B)/C. Поэтому в числителе получается A − B, а перед вторым числителем появляется минус. Скобки в записи A − (B) показывают, что знак относится ко всему выражению B, а не только к первому его слагаемому. При раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются.
Допустимые значения нужно проверить по исходному знаменателю до упрощения. Если общий знаменатель C, реши уравнение C = 0 и исключи найденные значения. После преобразования дроби знаменатель иногда сокращается, но это не делает запрещённое значение допустимым в исходном выражении. Поэтому результат записывают вместе с исходными ограничениями.
После сложения или вычитания числитель можно раскрыть, упростить и разложить на множители. Сокращать дробь разрешается, если один и тот же множитель входит в числитель целиком и в знаменатель целиком. Отдельные слагаемые числителя слагаются, а не сокращаются каждое по отдельности. Например, в дроби (x + 2)/((x + 2)(x − 1)) множитель x + 2 общий для всего числителя и знаменателя, поэтому его можно сократить при соблюдении исходных ограничений.
В таблице буквы A и B обозначают числители, а C — общий знаменатель. Пользуйся правилом только после того, как убедишься, что знаменатели действительно одинаковы и C ≠ 0. После выполнения действия проверь, можно ли упростить или сократить полученную дробь.
| Действие | Правило | Что происходит с числителем | Ограничение на знаменатель |
|---|---|---|---|
| Сложение двух рациональных дробей | A/C + B/C = (A + B)/C | Числители складываются | C ≠ 0 |
| Вычитание двух рациональных дробей | A/C − B/C = (A − B)/C | Из первого числителя вычитается второй | C ≠ 0 |
| Сложение дроби с целым выражением, представленным в виде дроби | A/C + B/1 = (A + BC)/C | К первому числителю прибавляется B, умноженное на C | C ≠ 0 |
| Вычитание дроби с целым выражением, представленным в виде дроби | A/C − B/1 = (A − BC)/C | Из первого числителя вычитается B, умноженное на C | C ≠ 0 |
| Сокращение результата после сложения или вычитания | (A · M)/(C · M) = A/C, если M ≠ 0 | Числитель и знаменатель делятся на общий множитель | Сохраняются ограничения исходного знаменателя |
Выполним действие: (3x + 2)/(x − 5) + (x − 7)/(x − 5). Знаменатели совпадают, значит, можно применить правило сложения и сохранить знаменатель. Сначала определим, при каком значении выражение не имеет смысла, а затем упростим числитель.
Знак плюс перед второй скобкой не меняет знаки её слагаемых. В числителе складываются 3x и x, а также 2 и −7. Ответ: (4x − 5)/(x − 5), x ≠ 5.
Теперь выполним вычитание: (5a − 1)/(2a + 3) − (a + 4)/(2a + 3). Общий знаменатель уже есть, поэтому вычитаем второй числитель из первого. Скобки особенно важны: без них можно потерять минус у одного из слагаемых второго числителя.
Перед скобками стоит минус, поэтому после её раскрытия знаки a и 4 стали противоположными. Сократить дробь нельзя: общий множитель числителя и знаменателя не выделяется. Ответ: (4a − 5)/(2a + 3), a ≠ −3/2.
Упростим выражение: (x² − 4)/(x + 2) + (3x + 1)/(x + 2). Внешне дроби уже имеют общий знаменатель, но после объединения нужно проверить, есть ли в числителе множитель x + 2. Ограничение исходного выражения сначала запишем по знаменателю.
В числителе не получается множитель x + 2, поэтому сократить дробь нельзя. Хотя x² − 4 отдельно раскладывается как (x − 2)(x + 2), после сложения с 3x + 1 общий множитель у всего числителя не появляется. Ответ: (x² + 3x − 3)/(x + 2), x ≠ −2.
Некоторые складывают или вычитают знаменатели, потому что переносят на дроби правило действий с числами. Но при одинаковых знаменателях части уже одного размера, и меняется только их количество. Проверь запись по примеру 2/5 + 1/5: результат равен 3/5, а не 3/10. В рациональных дробях действует то же правило для числителей-выражений.
При вычитании иногда не заключают второй числитель в скобки и меняют знак только у первого слагаемого. Ошибка возникает, когда минус воспринимают как относящийся лишь к ближайшему члену. Для самопроверки запиши, например, A − (B + C), а затем раскрой скобки как A − B − C. Если внутри было несколько слагаемых, знак меняется у каждого из них.
Можно забыть исключить значения переменной, при которых общий знаменатель равен нулю. Обычно это происходит, когда внимание сосредоточено на преобразовании числителей. До вычислений приравняй знаменатель к нулю и запиши запрет рядом с решением. В конце сверь ответ с этим ограничением: оно сохраняется, даже если знаменатель сократился.
Нельзя сокращать отдельное слагаемое числителя с частью знаменателя. Такое сокращение ошибочно, потому что дробная черта относится ко всему числителю и знаменателю, а слагаемые не являются множителями. Сначала разложи числитель и знаменатель на множители и ищи общий множитель всей дроби. Например, в (x + 3)/(x + 2) нельзя сократить x, хотя он встречается сверху и снизу.
Для работы с такими дробями нужны правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Также пригодятся раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, особенно при вычитании многочленов. Эти умения позволяют не только применить правило, но и довести выражение до простого вида.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — подготовка к действиям с разными знаменателями. В следующей задаче сначала придётся привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить знакомые действия с числителями. Поэтому важно различать общий знаменатель и сами числители.
Эти приёмы используют при упрощении рациональных выражений и решении рациональных уравнений. Упрощённая запись помогает заметить общие множители и удобнее выполнять дальнейшие вычисления. При решении уравнений также необходимо проверять ограничения, заданные знаменателями исходных дробей.
Почему знаменатели при сложении не складываются?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена единица. Если знаменатели одинаковы, части имеют один и тот же размер, поэтому достаточно сложить их количество — числители. Знаменатель остаётся прежним.
Как не ошибиться со знаками при вычитании дробей?
Запиши второй числитель в скобках после знака минус: A − (B). Затем измени знак каждого слагаемого в скобках и только после этого приводи подобные слагаемые. В конце проверь раскрытие скобок.
Нужно ли каждый раз записывать допустимые значения переменных?
Значения, при которых знаменатель равен нулю, нужно учитывать при каждом преобразовании. В подробном решении их лучше сразу записывать: так легче не потерять ограничение. Если выражение сокращается, запрет всё равно остаётся.
Можно ли сократить дробь сразу после сложения числителей?
Сначала сложи или вычти числители и упрости полученный многочлен. Сокращать можно только общий множитель всего числителя и всего знаменателя, а не отдельные слагаемые. Перед сокращением проверь, что знаменатель не равен нулю.
Что делать, если после преобразования знаменатели выглядят по-разному?
Проверь, действительно ли знаменатели равны: возможно, один из них записан в разложенном или сокращённом виде. Если знаменатели разные и дроби нельзя привести к одному виду, для сложения или вычитания сначала нужно найти общий знаменатель. Ограничения исходных дробей при этом сохраняются.
§ 36 Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями
