§ 37 Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Определения и обозначения

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, 3/(x + 2) — рациональная дробь. Она имеет смысл только при тех значениях переменной, при которых знаменатель не равен нулю, поэтому такие ограничения нужно учитывать при преобразованиях.

Общий знаменатель — выражение, которое делится без остатка на каждый из знаменателей складываемых или вычитаемых дробей. Он позволяет представить дроби в одинаковых частях, как при работе с обычными дробями. После этого числители можно складывать или вычитать.

Наименьший общий знаменатель — общий знаменатель, выбранный так, чтобы он не содержал лишних множителей и был наименьшим по степени и коэффициентам. Его находят, сравнивая разложения исходных знаменателей на множители. Такой выбор делает вычисления короче и помогает избежать громоздких выражений.

Дополнительный множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель. Например, если знаменатель x отличается от общего знаменателя xy множителем y, дополнительный множитель равен y. Умножение обеих частей дроби на одно и то же выражение не меняет её значения, если это выражение не равно нулю.

Как это устроено

Дроби с разными знаменателями нельзя сразу складывать или вычитать, потому что в них считаются части разного размера. Например, третьи и пятые доли нельзя объединить одним сложением чисел в числителях: сначала нужно выразить обе величины в одинаковых частях. Общий знаменатель как раз задаёт размер этих частей, поэтому после приведения дробей действие становится понятным.

Чтобы найти общий знаменатель, сначала раскладывают исходные знаменатели на множители. В общий знаменатель включают каждый различный множитель в той степени, которая достаточна для делимости на каждый исходный знаменатель. Если множитель повторяется в одном разложении несколько раз, учитывают его наибольшую степень, а не складывают степени из разных знаменателей. Такой способ даёт наименьший общий знаменатель и не раздувает вычисления.

Затем для каждой дроби выясняют, какого множителя не хватает её знаменателю до общего. Этот множитель и есть дополнительный множитель данной дроби. Чтобы значение дроби не изменилось, на него умножают и числитель, и знаменатель: так используется основное свойство дроби. Перед умножением полезно проверить, что новый знаменатель действительно совпадает с выбранным общим знаменателем.

Когда знаменатели стали одинаковыми, дроби состоят из равных частей. Поэтому складывают или вычитают только количество этих частей, то есть числители, а общий знаменатель оставляют прежним. При вычитании нужно заключить второй числитель в скобки: знак минус меняет знаки всех его слагаемых после раскрытия скобок. Знаменатели в числителе не складывают и не вычитают.

Полученный числитель упрощают: раскрывают скобки, следят за знаками и приводят подобные слагаемые. Затем ищут общий множитель числителя и знаменателя и сокращают дробь, если это возможно. При этом отдельно проверяют ОДЗ исходного выражения: сокращение не возвращает значения, при которых исходный знаменатель обращался в ноль. Например, если знаменатель равен нулю при x = 0, это значение остаётся запрещённым и после упрощения.

Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями

Пользуйся таблицей сверху вниз: каждый этап подготавливает выражение к следующему. Особенно внимательно проверь дополнительные множители и знаки при вычитании. В конце сравни ОДЗ с ограничениями, записанными до преобразований.

Разбор задач

В первом примере знаменатели совпадают, поэтому приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Однако значение x = −2 запрещено: при нём общий знаменатель обращается в ноль. Сохраним знаменатель и сложим числители.

1. ОДЗ: x + 2 ≠ 0, значит, x ≠ −2.
2. Складываем числители: 3/(x + 2) + 5/(x + 2) = (3 + 5)/(x + 2).
3. Вычисляем сумму чисел: 8/(x + 2).

Ответ: 8/(x + 2), x ≠ −2. Знаменатель остался прежним, потому что обе дроби уже выражены в одинаковых частях. Здесь сокращать дробь нельзя: числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Во втором примере знаменатели x − 3 и x + 3 — разные множители, поэтому общий знаменатель удобно получить их произведением. Оба выражения должны быть ненулевыми, значит, x не может равняться 3 или −3. При вычитании важно заключить весь второй числитель в скобки.

1. ОДЗ: x ≠ 3 и x ≠ −3.
2. Общий знаменатель: (x − 3)(x + 3). Первый числитель домножаем на x + 3, второй — на x − 3.
3. Записываем разность: [2(x + 3) − 1(x − 3)]/[(x − 3)(x + 3)].
4. Раскрываем скобки с учётом минуса: 2x + 6 − x + 3 = x + 9. Знаменатель равен x² − 9.

Ответ: (x + 9)/(x² − 9), x ≠ ±3. В числителе стоит x + 9, а не x + 3: минус перед второй скобкой изменил знак каждого её слагаемого. Полученную дробь сократить нельзя.

В третьем примере сначала раскладываем оба знаменателя и только затем выбираем общий. Выражение x² − 4 раскладывается на разность квадратов, а x² − 2x — на вынесенный общий множитель x. Ограничения найдём из исходных знаменателей и сохраним до ответа.

1. ОДЗ: x² − 4 ≠ 0 и x² − 2x ≠ 0, поэтому x ≠ −2, 2, 0.
2. Разложение: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), x² − 2x = x(x − 2). Наименьший общий знаменатель — x(x − 2)(x + 2).
3. Первую дробь домножаем на x, вторую — на x + 2: [x + 2(x + 2)]/[x(x − 2)(x + 2)].
4. Упрощаем числитель: x + 2x + 4 = 3x + 4. Общий множитель числителя и знаменателя отсутствует.

Ответ: (3x + 4)/[x(x − 2)(x + 2)], x ≠ −2, 0, 2. Множитель x − 2 не сокращается, потому что его нет в числителе. Даже если бы множитель удалось сократить, исходные ограничения всё равно оставались бы в силе.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так поступают, когда по привычке выполняют действие сразу с обеими частями дроби, но общий знаменатель при сложении не меняется. Проверь себя: если знаменатели равны, итоговый знаменатель должен быть таким же, а действие выполняется только с числителями.

Ошибка: выбрать общий знаменатель, в котором не хватает множителя или его степени. Тогда исходные знаменатели не делятся на выбранное выражение, а дроби не приводятся к равным знаменателям. Проверь деление: общий знаменатель должен делиться без остатка на каждый исходный, а разложения удобно сравнить по всем множителям.

Ошибка: домножить на дополнительный множитель только числитель. Это изменяет значение дроби, потому что её числитель увеличился, а знаменатель остался прежним. Проверь каждую строку: множитель сверху и снизу должен быть один и тот же, а новый знаменатель каждой дроби — совпасть с общим.

Ошибка: потерять минус перед скобками или сократить выражение, не учитывая запрещённые значения. Минус относится ко всему вычитаемому числителю, а сокращение не отменяет ОДЗ исходной дроби. Проверь раскрытие скобок по каждому слагаемому и сравни ограничения в ответе с теми, что записал до преобразований.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны основное свойство дроби, разложение многочленов на множители, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Без этих навыков трудно правильно выбрать общий знаменатель и упростить числитель. Умение складывать и вычитать рациональные дроби помогает преобразовывать рациональные выражения и решать рациональные уравнения. Позже те же приёмы понадобятся при умножении и делении рациональных дробей и других тождественных преобразованиях.

Что запомнить

• Перед преобразованиями выпиши значения переменной, при которых знаменатель равен нулю.
• Сначала найди общий знаменатель, затем дополнительные множители.
• При приведении дробей к общему знаменателю домножай и числитель, и знаменатель.
• После приведения к общему знаменателю складывай или вычитай только числители.
• Минус перед дробью относится ко всему её числителю.
• В конце раскрой скобки, приведи подобные слагаемые и сократи дробь, если это возможно.