§ 38 Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

Определения и обозначения

Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами, например (x + 1)/(x − 2). Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Поэтому для этой дроби x ≠ 2. Это ограничение нужно учитывать при любых преобразованиях дроби.

Умножение рациональных дробей — действие, при котором числители перемножают между собой, а знаменатели — между собой. Например, для произведения (a/b)·(c/d) получают дробь ac/bd. Перед умножением многочлены можно разложить на множители и сократить общие множители. Так вычисления становятся короче, но условия на переменные сохраняются.

Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель: для a/b это b/a. Она нужна, чтобы заменить деление умножением. Обратную дробь можно составить только тогда, когда исходная дробь не равна нулю, то есть её числитель не равен нулю. Иначе в знаменателе обратной дроби окажется ноль.

Степень рациональной дроби — это дробь, числитель и знаменатель которой возведены в одну и ту же степень: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Такое обозначение сокращает запись повторного умножения дроби на себя. Знаменатель исходной дроби при этом должен быть отличен от нуля. Степень применяют к числителю и знаменателю целиком.

Как это устроено

Правило умножения дробей следует из основного свойства дроби: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число или выражение, значение дроби не изменится. Например, дробь a/b можно представить как ad/bd, а c/d — как bc/bd; произведение дробей в итоге приводит к ac/bd. Поэтому числители умножают друг на друга, и знаменатели — друг на друга. Знаменатели каждой дроби должны быть ненулевыми.

При умножении удобно сначала разложить многочлены на множители, потому что только множители можно сократить. Например, выражение x² − 9 заменяется произведением (x − 3)(x + 3), и общий множитель становится заметен. Сокращение означает деление числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Значения, при которых исходный знаменатель равен нулю, остаются запрещёнными и после сокращения.

Деление дробей заменяют умножением на обратную дробь: (a/b):(c/d) = (a/b)·(d/c). Это работает, потому что дробь c/d, умноженная на обратную d/c, даёт 1, а деление на число равносильно умножению на число, обратное ему. Делитель c/d не должен быть равен нулю, поэтому c ≠ 0; кроме того, дроби должны быть определены, значит b ≠ 0 и d ≠ 0. Эти условия проверяют до сокращения.

При возведении дроби в натуральную степень повторно умножают её саму на себя. В каждом множителе есть числитель и знаменатель, поэтому числители образуют степень числителя, а знаменатели — степень знаменателя: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Если степень чётная, отрицательное выражение возводится в чётную степень и результат положителен, например (−3)² = 9. Знаменатель исходной дроби всё равно не должен быть нулём.

В выражении с несколькими действиями сначала выполняют действия в скобках и возведение в степень, затем умножение и деление по порядку слева направо. Перед делением проверяют, что дробь-делитель не равна нулю, а её знаменатель определён. При упрощении нельзя терять условия, появившиеся в исходной записи. Поэтому в конце удобно ещё раз перечислить значения переменных, которые обращают в ноль знаменатели или делитель.

Правила действий с рациональными дробями

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала выбери правило для нужного действия, затем проверь допустимые значения. Если есть произведение, попробуй разложить его на множители и сократить общие множители. После преобразования сохрани ограничения, заданные исходной записью.

Разбор задач

Задача 1. Упростите произведение (6x/5y) · (10y/9x), указав допустимые значения переменных. Сначала проверим знаменатели: в них стоят 5y и 9x, значит x ≠ 0 и y ≠ 0. Затем разложим числовые множители и заметим одинаковые буквенные множители в числителе и знаменателе. Сокращать можно только множители, а не отдельные части суммы.

1. Записываем произведение одной дробью: (6x · 10y)/(5y · 9x).
2. Сокращаем x и y, так как по условию они ненулевые, а числа 6 и 10 с 5 и 9 сокращаем на общие множители.
3. Получаем 60/45 = 4/3.

Ответ: 4/3, x ≠ 0, y ≠ 0. Ограничения записаны по исходным знаменателям, поэтому они остаются, хотя переменные исчезли из упрощённой дроби. Подстановка нуля в исходное выражение была бы невозможна.

Задача 2. Выполните деление (x² − 9)/(x + 2) : (x − 3)/(2x), указав все ограничения. У первого знаменателя условие x ≠ −2, у второго — x ≠ 0. Кроме того, дробь-делитель должна быть определена и не равна нулю, поэтому x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3. Разность квадратов раскладывается на множители: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

1. Заменяем деление умножением на обратную дробь: ((x − 3)(x + 3))/(x + 2) · (2x)/(x − 3).
2. Сокращаем общий множитель x − 3. Это допустимо при x ≠ 3, что уже учтено в ограничениях.
3. Записываем результат: 2x(x + 3)/(x + 2).

Ответ: 2x(x + 3)/(x + 2), x ≠ −2, 0, 3. Нельзя исключить условие x ≠ 3 только потому, что множитель сократился: в исходном выражении при x = 3 делитель равен нулю. Все ограничения проверены до преобразования.

Задача 3. Упростите ((a − 2)/(a + 2))² · ((a² − 4)/(a − 2)) и укажите допустимые значения a. В знаменателях исходного выражения находятся a + 2 и a − 2, поэтому a ≠ −2 и a ≠ 2. Сначала применим правило степени, затем разложим разность квадратов во второй дроби. Так появятся общие множители, которые можно сократить.

1. Возводим первую дробь в квадрат: (a − 2)²/(a + 2)².
2. Разлагаем a² − 4 = (a − 2)(a + 2) и записываем произведение: (a − 2)²/(a + 2)² · ((a − 2)(a + 2))/(a − 2).
3. Сокращаем общие множители, учитывая, что a ≠ −2 и a ≠ 2, и получаем (a − 2)²/(a + 2).

Ответ: (a − 2)²/(a + 2), a ≠ −2, 2. Оба исключённых значения взяты из знаменателей исходного выражения. Даже если после сокращения один из множителей исчез, подставлять запрещённые значения нельзя.

Типичные ошибки

При умножении иногда перемножают знаменатель первой дроби только с числителем второй. Это происходит, когда правило запоминают как одно действие, не разделяя числители и знаменатели. Проверка: запиши произведение сначала одной дробью и убедись, что сверху стоят оба числителя, а снизу — оба знаменателя.

При делении можно по ошибке перевернуть первую дробь вместо второй. Обратной делают именно дробь-делитель, потому что деление заменяется умножением на число, обратное делителю. Проверка: поставь знак умножения и поменяй местами числитель и знаменатель только во второй дроби. Также проверь, что делитель не равен нулю.

Нельзя сокращать слагаемые, например убирать a в дроби (a + 3)/a. Ошибка возникает из-за того, что буква встречается и сверху, и снизу, но сокращение допустимо только для общих множителей. Разложи числитель и знаменатель на множители, если это возможно. Для проверки умножь получившуюся дробь на сокращённый множитель и сравни с исходной.

После сокращения иногда забывают ограничения на переменные. Это случается, потому что в упрощённой дроби запрещённая буква или множитель может исчезнуть. Найди нули знаменателей исходного выражения и значения, при которых делитель равен нулю. Сверь их с ответом и оставь все такие значения исключёнными.

Связь с другими темами

Чтобы умножать и делить рациональные дроби, нужны основное свойство дроби и правила действий с обыкновенными дробями. Разложение многочленов на множители помогает находить общие множители и упрощать вычисления. Навык сохранять ограничения на переменные продолжает работу с областью допустимых значений выражений.

Эти преобразования используют при упрощении рациональных выражений и решении рациональных уравнений. Умение раскладывать многочлены и сокращать дроби помогает быстрее приводить выражения к удобному виду. Проверка ограничений нужна и в дальнейших алгебраических преобразованиях.

Что запомнить

• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• В степень возводят и числитель, и знаменатель.
• Сокращать можно только общие множители.
• Знаменатель рациональной дроби не должен быть равен нулю.
• При делении делитель также не должен быть равен нулю.