"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система уравнений с двумя переменными — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Каждому уравнению соответствует график: все его точки подходят уравнению. Поэтому решения системы можно искать по общим точкам графиков и записывать как пары чисел. Построение показывает число решений и их примерное положение, а подстановка в уравнения помогает проверить точные координаты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений с двумя переменными — совокупность уравнений, которые должны выполняться одновременно. Например, запись с фигурной скобкой объединяет несколько условий для x и y. Это понятие нужно, когда требуется найти значения переменных, подходящие сразу ко всем условиям, а не только к одному из них.
Решение системы — упорядоченная пара значений переменных, обращающая в верные равенства все уравнения системы. Её записывают как (x; y): на первом месте стоит значение x, на втором — значение y. Такой порядок помогает не перепутать, какое число подставлять вместо каждой переменной.
График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению. Если точка имеет координаты (a; b), то она принадлежит графику уравнения, когда после подстановки x = a и y = b получается верное равенство. График наглядно показывает все пары чисел, подходящие одному уравнению.
Графическое решение системы — поиск общих точек графиков уравнений, входящих в систему. Общая точка лежит на каждом графике, поэтому её координаты подходят всем уравнениям сразу. Этот способ позволяет увидеть решения и оценить их число.
У точки на координатной плоскости есть две координаты: первая задаёт положение по горизонтали, вторая — по вертикали. Их можно подставить вместо переменных в уравнение. Если равенство верно, точка подходит уравнению; если так проверить все пары, которые ему подходят, получится график. Значит, график — не просто линия на рисунке, а изображение всех решений уравнения.
В системе каждое уравнение задаёт свой график и своё условие для пары чисел. Чтобы пара подошла системе, она должна одновременно удовлетворять всем этим условиям. На чертеже это означает, что точка должна находиться сразу на всех графиках. Поэтому общая точка графиков задаёт решение системы, а точка только на одном графике — ещё нет.
Число решений совпадает с числом общих точек, потому что каждой такой точке соответствует пара координат. Если графики не имеют общих точек, подходящей пары нет; если пересекаются один раз — есть одна пара. При нескольких пересечениях возникают несколько решений, а совпавшие графики имеют общими все свои точки. Однако пересечение может попасть между делениями сетки, поэтому по одному рисунку трудно надёжно назвать точные координаты.
Иногда уравнение удобно сначала преобразовать, чтобы его график было проще построить. Например, из y − 2 = x можно выразить y: получим y = x + 2. Это равносильное преобразование: оно не меняет решения, потому что к обеим частям прибавили одно и то же число. Но при делении на выражение с переменной нужно отдельно проверить, не равно ли оно нулю: иначе можно потерять решения или получить лишние.
Графический поиск и вычисления дополняют друг друга. По рисунку можно заметить пересечения и предположить, какие целые координаты у них есть. Затем эти значения подставляют в исходные уравнения: если все равенства верны, пара подтверждена. Если проверка не проходит, значит, координаты с чертежа считали неточно или допустили ошибку в вычислениях.
| Расположение графиков | Число решений | Что делать |
|---|---|---|
| Графики не пересекаются | 0 | Записать, что решений нет. |
| Графики пересекаются в одной точке | 1 | Найти координаты точки и проверить подстановкой. |
| Графики пересекаются в нескольких точках | Несколько | Определить координаты каждой точки и проверить их. |
| Графики совпадают | Бесконечно много | Указать, что каждая точка общего графика даёт решение. |
Сначала определи, как расположены графики, и посчитай их общие точки. Затем, если пересечения есть, найди координаты каждой из них. Для окончательного ответа проверь пары подстановкой, особенно если точки расположены не точно на пересечении линий сетки.
Здесь первое уравнение задаёт наклонную прямую, а второе — горизонтальную. Их общая точка должна иметь y = 3, а её координаты также должны удовлетворять первому уравнению. Построение помогает увидеть пересечение, а вычисление уточняет его координаты.
Ответ: (2; 3).
График y = x² — парабола, а график y = 4 — горизонтальная прямая. По рисунку видно, что прямая пересекает параболу с двух сторон от оси y. Чтобы точно получить координаты, приравняем значения y и проверим найденные точки.
Ответ: два решения: (−2; 4) и (2; 4).
Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом 5: сумма квадратов координат каждой её точки равна 25. Второе уравнение задаёт прямую, поэтому по рисунку нужно искать места, где прямая пересекает окружность. Для точных координат подставим выражение для y в уравнение окружности.
Ответ: (−4; −3) и (3; 4).
Записать только значение одной переменной — значит не указать полное решение: в системе две переменные, поэтому нужна пара. Такую ошибку допускают, когда находят x и забывают вернуться к y. Проверь себя: ответ должен содержать оба числа в установленном порядке, например (2; 3).
Считать примерное пересечение на рисунке точным ответом рискованно: толщина линий и масштаб могут сместить видимую точку. Ошибку провоцирует желание сразу прочитать координаты по ближайшим делениям. Проверь пару подстановкой в исходные уравнения; график помогает обнаружить решение, но не всегда даёт точность.
Точка, принадлежащая только одному графику, не является решением всей системы. Иногда ученик проверяет координаты лишь по тому уравнению, которое строил первым. Подставь пару в каждое уравнение: все равенства должны оказаться верными одновременно.
При преобразовании уравнения можно потерять допустимые значения, например разделив обе части на выражение с переменной и не проверив, может ли оно быть нулём. Такое деление кажется обычным упрощением, поэтому ограничение легко упустить. Сверь преобразование с исходным уравнением, отдельно проверь запрещённые или исключённые значения и подставь ответ в исходную систему.
Для построения графиков понадобятся координатная плоскость и умение находить точки по координатам. Ранее изученные графики линейных и простейших квадратичных уравнений помогают увидеть прямые и параболы, а подстановка значений позволяет проверить, принадлежит ли точка графику.
Эта тема соединяет построение графиков с решением уравнений: сначала рисунок подсказывает возможные пары, затем вычисления подтверждают их. Такой подход пригодится при изучении функций и систем уравнений более высокой степени, графики которых могут иметь разные формы и несколько точек пересечения.
Почему решением системы считают пару чисел, а не одно число?
В уравнении с двумя переменными задаются сразу два значения: например, x и y. Поэтому решение записывают как упорядоченную пару (x; y), причём каждое её значение относится к своей переменной.
Почему точки пересечения графиков являются решениями системы?
Координаты точки на графике каждого уравнения удовлетворяют этому уравнению. Если точка принадлежит сразу всем графикам системы, её координаты подходят всем уравнениям одновременно.
Как понять по графикам, сколько решений имеет система?
Нужно посчитать общие точки графиков: ни одной, одну или несколько. Если графики совпадают, общих точек бесконечно много, значит, система имеет бесконечно много решений.
Можно ли считать координаты с чертежа точным ответом?
Не всегда: точка пересечения может оказаться между делениями, а толщина линий мешает определить координаты точно. Используй график для поиска и проверки предположения, а найденную пару подставь в исходные уравнения.
Что означает, если графики уравнений полностью совпадают?
Уравнения задают один и тот же набор точек. Поэтому любая точка этого графика удовлетворяет обоим уравнениям, и система имеет бесконечно много решений.
Дополнения к главе 4
