"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Комбинаторные правила помогают считать число возможных вариантов, не перечисляя каждый из них. Правило суммы используют, когда выбирают один вариант из нескольких непересекающихся групп: количества вариантов складывают. Правило произведения применяют, если результат составляют последовательными шагами: количества выборов перемножают. Главное — понять, является ли условие выбором одного способа или выполнением нескольких действий подряд.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комбинаторная задача — задача о подсчёте числа возможных вариантов без их последовательного перечисления. Объектами могут быть напитки, комплекты одежды, коды или другие предметы, а вариантами — способы их выбрать или составить. Такое определение нужно, чтобы сразу сосредоточиться на количестве исходов и не тратить время на запись каждого.
Правило суммы — способ подсчитать варианты, когда выбирают один из нескольких взаимоисключающих способов. В этом случае складывают числа вариантов в отдельных группах: N = n₁ + n₂ + … . Правило помогает объединить разные возможности, если один результат не может одновременно попасть в две группы.
Правило произведения — способ подсчитать варианты, составляемые из последовательных независимых шагов. Числа вариантов на каждом шаге перемножают: N = n₁ · n₂ · … . Оно нужно, когда итоговый объект получается не одним выбором, а сочетанием результатов нескольких действий.
Представим несколько непересекающихся групп предметов и выбор только одного предмета. Вариант из первой группы нельзя одновременно считать вариантом из второй, поэтому одинаковые результаты не повторяются. Значит, чтобы получить все возможные выборы, достаточно сложить количества вариантов во всех группах.
При последовательном выборе ситуация другая: каждый вариант первого шага можно соединить с каждым допустимым вариантом следующего. Если на первом шаге есть a возможностей, а для каждого из них на втором шаге — b возможностей, образуются пары: по b пар на каждый из a вариантов. Поэтому всего получается a · b вариантов.
Определить нужное правило помогает вопрос: «Выбирают один способ или выполняют несколько шагов подряд?» Слова «или», «либо» часто указывают на разные взаимоисключающие группы и правило суммы. Слова «и», «затем», «после этого» обычно показывают последовательные действия, для которых применяют правило произведения.
Например, сначала можно выбрать тип объекта, а затем его характеристики. Если доступны 2 типа тетрадей, для каждого типа есть 3 цвета обложки и 2 формата, то выбор строится в три шага: тип, цвет, формат. Каждый тип сочетается с каждым цветом и каждым форматом, поэтому число вариантов равно 2 · 3 · 2 = 12.
Комбинаторные правила заменяют длинное перечисление короткой схемой подсчёта. Не нужно выписывать все пары, тройки или коды, если можно установить структуру выбора. Главное — не просто выполнить действие со знаками «+» или «·», а объяснить, какие группы или шаги соответствуют числам.
| Ситуация | Что происходит с выбором | Как считать | Условие применения |
|---|---|---|---|
| Выбор одного варианта из нескольких групп | Берут один вариант из одной группы или из другой | Складывают количества: n₁ + n₂ | Группы не пересекаются |
| Последовательный выбор на нескольких шагах | Сначала делают один выбор, затем следующий | Перемножают количества: n₁ · n₂ | Каждый допустимый выбор продолжается вариантами следующего шага |
| Пример записи числа вариантов | Объединяют или соединяют отдельные возможности | 4 + 3 = 7; 5 · 3 = 15 | Знак выбирают по смыслу условия |
| Что проверить перед применением правила | Уточняют пересечения и ограничения | Учитывают запреты и зависимость выборов | Нельзя считать повторения допустимыми без основания |
Сначала найдите в условии группы и шаги выбора. Затем проверьте, не пересекаются ли группы и одинаково ли устроено продолжение каждого выбора.
Если в задаче есть разные способы составить результат, внутри каждого способа может работать произведение, а между взаимоисключающими способами — сумма.
В буфете есть 4 вида сока и 3 вида компота, а выбрать нужно только один напиток. Сок и компот образуют две группы, и один выбранный напиток не может быть одновременно соком и компотом. Поэтому здесь не составляют пару напитков, а объединяют два возможных случая.
Ответ: 7 способов. Умножение здесь дало бы число пар и отвечало бы уже другой задаче.
Ученик выбирает одну из 5 рубашек и одни из 3 пар брюк. Комплект состоит из двух элементов, поэтому выбор выполняется последовательно: сначала рубашка, затем брюки. Каждую рубашку можно сочетать с каждой парой брюк.
Ответ: 15 комплектов. Один и тот же вариант брюк можно сочетать с разными рубашками, поэтому все сочетания считаются отдельными.
Для кода выбирают одну букву из 4 допустимых, затем две цифры от 0 до 9, причём цифры могут повторяться. В каждой цифровой позиции по 10 вариантов, потому что разрешены все цифры и повторение не уменьшает выбор. Букву и пару цифр выбирают последовательно.
Ответ: 400 кодов. Если бы повторение цифр запрещалось, число вариантов второй цифровой позиции пришлось бы уменьшить.
Складывать варианты при последовательном выборе. Так делают, когда видят несколько чисел, но забывают, что итог состоит из всех выбранных элементов. Проверьте: если результат содержит и первый, и второй элемент, обычно нужно умножение.
Перемножать варианты взаимоисключающих групп. Ошибка возникает, когда слова «сок или компот» принимают за два шага. Спросите себя, выбираются ли два предмета одновременно; если только один, количества нужно складывать.
Считать пересекающиеся группы непересекающимися. Тогда общий вариант попадает в подсчёт дважды. Перед сложением проверьте, может ли один объект относиться сразу к нескольким группам.
Не учитывать ограничения условия. Например, при запрете повторения нельзя оставлять одинаковое число вариантов на всех шагах. После каждого выбора определите, сколько элементов осталось доступными.
До комбинаторных задач нужно уметь находить число элементов в конечном наборе. Также важно внимательно выделять условия выбора: количество шагов, группы, пересечения и запреты.
Комбинаторные правила понадобятся при изучении вероятности. Чтобы найти вероятность события, часто сначала подсчитывают общее число исходов и число подходящих исходов с помощью сложения и умножения.
Как понять, нужно складывать или перемножать число вариантов?
Если выбирают один вариант из взаимоисключающих групп, применяют сложение. Если вариант получается после нескольких последовательных выборов, применяют умножение.
Когда группы вариантов считаются непересекающимися?
Группы непересекающиеся, если один вариант не может одновременно относиться к двум группам. Например, выбранный напиток бывает либо соком, либо компотом.
Можно ли применить правило произведения, если на каждом шаге разное число вариантов?
Да, можно. Нужно перемножить количество вариантов на первом шаге, на втором и так далее, даже если эти количества различаются.
Как учитывать запрет на повторение элементов?
После каждого выбора нужно определить, сколько вариантов осталось. Если повторять выбранный элемент нельзя, число доступных вариантов на следующих шагах обычно уменьшается.
Можно ли использовать правило суммы и правило произведения в одной задаче?
Да. Сначала можно перемножить варианты последовательных шагов внутри каждого способа, а затем сложить результаты для взаимоисключающих способов.
13.2. Комбинаторные правила
