§6. Числовые последовательности и их свойства

Определения и обозначения

Числовая последовательность — функция, каждому натуральному номеру ставящая в соответствие одно действительное число. Её записывают так: a₁, a₂, a₃, … или (aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Такое определение помогает рассматривать не просто список, а правило, по которому каждому месту соответствует своё число.

Член последовательности и его номер обозначаются записью aₙ: буква n показывает номер, а aₙ — значение на этом месте. Например, в записи a₅ число 5 — номер, а сам результат вычисления — пятый член. Это различие нужно, чтобы правильно подставлять значения в формулу.

Монотонная последовательность — последовательность, члены которой при увеличении номера не убывают или не возрастают. Если каждый следующий член больше предыдущего, последовательность возрастает, а если меньше — убывает; равенство всех соседних членов даёт постоянную последовательность. Свойство позволяет описать общий порядок изменения чисел.

Ограниченная последовательность — последовательность, все члены которой не выходят за некоторый фиксированный промежуток. Это означает, что существуют числа m и M, для которых m ≤ aₙ ≤ M при любом натуральном n. Границы помогают понять, могут ли значения неограниченно удаляться вверх или вниз.

Как это устроено

Последовательность считают функцией, потому что каждому допустимому аргументу n соответствует ровно одно значение aₙ. Аргументами здесь являются только натуральные числа, поэтому значения рассматривают по порядку: первое, второе, третье и так далее. От обычного набора чисел последовательность отличается наличием номеров и правила, связывающего номер с членом.

Последовательность можно задать перечислением первых членов, например 2, 4, 6, 8, …, если закономерность понятна. Формула общего члена сразу связывает любое n со значением, например aₙ = 2n. Рекуррентное правило задаёт новый член через предыдущий: например, a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 2; для вычислений тогда нужны начальный член и само правило перехода.

Формула общего члена особенно удобна, когда требуется член с большим номером. Чтобы найти a₁₀₀, достаточно подставить n = 100 и выполнить вычисления, не находя a₁, a₂ и остальные промежуточные значения. Поэтому такая формула экономит время и показывает зависимость члена от его номера.

Для исследования изменения последовательности сравнивают соседние члены: aₙ и aₙ₊₁. Если для всех n выполняется aₙ₊₁ > aₙ, последовательность возрастает, если aₙ₊₁ < aₙ — убывает, а при равенстве она постоянна. Удобный способ сравнения — вычислить разность aₙ₊₁ − aₙ и определить её знак.

Ограниченность проверяют поиском двух постоянных границ, общих для всех номеров. Нужно доказать одновременно aₙ ≥ m и aₙ ≤ M; границы могут быть не самыми точными, но должны работать всегда. Например, из 0 < 1/n ≤ 1 следует ограниченность, тогда как рост членов ещё не говорит о наличии верхней границы.

Основные свойства числовых последовательностей

При исследовании сначала выпишите условие, которое нужно проверить, а затем подставьте в него формулу последовательности. Для монотонности обычно достаточно изучить знак разности соседних членов. Для ограниченности нужно отдельно указать нижнюю и верхнюю границы.

Разбор задач

Задача 1

Условие: последовательность задана формулой aₙ = 3n − 2. Найдите a₁, a₄ и a₁₀.

1. Для a₁ подставим в формулу n = 1: a₁ = 3 · 1 − 2 = 1.
2. Для a₄ подставим n = 4: a₄ = 3 · 4 − 2 = 10.
3. Для a₁₀ подставим n = 10: a₁₀ = 3 · 10 − 2 = 28.

Ответ: a₁ = 1, a₄ = 10, a₁₀ = 28. Каждый раз подставляется именно номер нужного члена, а не уже найденное значение.

Задача 2

Условие: исследуйте на монотонность последовательность aₙ = n² − 4n.

1. Найдём соседний член: aₙ₊₁ = (n + 1)² − 4(n + 1) = n² − 2n − 3.
2. Вычислим разность: aₙ₊₁ − aₙ = (n² − 2n − 3) − (n² − 4n) = 2n − 3.
3. При n = 1 разность равна −1, а при n ≥ 2 она положительна. Значит, первый переход даёт уменьшение, а начиная со второго номера члены увеличиваются.

Ответ: последовательность не является монотонной на всех натуральных номерах: a₂ < a₁, но начиная с a₂ она возрастает.

Задача 3

Условие: докажите, что последовательность aₙ = 1/(n + 1) является убывающей и ограниченной.

1. Так как n + 2 > n + 1 и оба числа положительны, то 1/(n + 2) < 1/(n + 1). Следовательно, aₙ₊₁ < aₙ для всех n, и последовательность убывает.
2. При натуральном n знаменатель n + 1 не меньше 2, поэтому 0 < 1/(n + 1) ≤ 1/2.
3. Значит, можно взять нижнюю границу m = 0 и верхнюю границу M = 1/2.

Ответ: последовательность убывает и ограничена: 0 < aₙ ≤ 1/2.

Типичные ошибки

Считать последовательность конечным набором. Первые выписанные числа только показывают начало, а члены определены для всех натуральных номеров. Проверьте, есть ли правило для любого n, а не только список из нескольких значений.

Путать номер и член. В aₙ буква n — место, а aₙ — число на этом месте. Перед вычислением подпишите, что именно подставляете: например, n = 4, затем найдите a₄.

Делать вывод по нескольким членам. Первые два или три значения могут выглядеть возрастающими случайно. Для строгого доказательства сравните соседние члены при произвольном n и получите условие, верное для всех номеров.

Считать любую возрастающую последовательность ограниченной. Возрастание говорит только о порядке членов, но не о наличии верхней границы. Проверьте, можно ли подобрать одно число M, для которого aₙ ≤ M при каждом n.

Связь с другими темами

Для работы с последовательностями нужны натуральные числа, буквенные выражения, подстановка значений и сравнение чисел. Эти навыки позволяют вычислять члены и исследовать знаки разностей.

Тема подготавливает изучение арифметической и геометрической прогрессий: это специальные последовательности со своими правилами перехода от одного члена к следующему. Их формулы становятся понятнее после освоения общего члена.

Свойства последовательностей пригодятся при изучении степенных выражений, функций и пределов. Во всех этих темах важно отслеживать зависимость значения от номера или аргумента и поведение выражения при их изменении.

Что запомнить

• Последовательность — это функция, заданная на натуральных номерах.
• Запись aₙ обозначает член последовательности с номером n.
• Формула общего члена позволяет находить любой член непосредственно.
• Монотонность устанавливают сравнением членов с соседними номерами.
• Ограниченность означает наличие общей верхней и нижней границы.
• По нескольким первым членам нельзя строго доказать свойство всей последовательности.