4.3. Понятие одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Например, 5a²b и −3xy³ — одночлены. Это определение позволяет сразу отличить произведение от суммы или разности: выражение 2a + b состоит из двух одночленов, но само одночленом не является.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи −7x²y коэффициентом является −7, а если число не написано, как в ab, коэффициент равен 1. Знак «−» перед буквами означает коэффициент −1, поэтому −m можно представить как (−1) · m.

Буквенная часть одночлена — произведение переменных с указанными степенями. В одночлене 4x²yz буквенная часть — x²yz. Знаки умножения между буквами обычно не пишут, чтобы запись была короче.

Степень одночлена — сумма показателей всех переменных, входящих в него. Для 6a³b² она равна 3 + 2 = 5, а показатель переменной без степени считают равным 1. У ненулевого числового одночлена степень равна 0, потому что переменных в нём нет.

Как это устроено

Произведение чисел и переменных подходит под определение одночлена, потому что все его части соединены умножением, а показатели переменных неотрицательны. Например, 2 · 3 · x² · y можно записать как 6x²y. А выражение с переменной в знаменателе, например 5/x, содержит отрицательную степень: 5/x = 5x⁻¹. Корень с переменной обычно тоже не подходит, поскольку √x можно представить как x½, а показатель ½ не является целым.

Чтобы привести произведение к стандартному виду, сначала перемножают все числовые множители. Затем одинаковые переменные объединяют и записывают степенями, а коэффициент ставят перед буквенной частью. Например, 2b · 3a · b² = 6ab³: числа дают 6, переменная a встречается один раз, а показатели b складываются.

В стандартной записи коэффициент находится слева от буквенной части, поэтому у −8p²q коэффициент равен −8, а буквенная часть — p²q. Если число не указано, перед буквами мысленно стоит 1: xy = 1 · xy. Если записан только минус, перед буквами стоит −1: −x²y = (−1) · x²y.

Показатели складываются потому, что при умножении степеней с одинаковым основанием перемножают одинаковые множители. Например, a² · a³ = (a · a)(a · a · a) = a⁵, значит, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Поэтому в произведении 3x² · x⁴ степень переменной x равна 2 + 4 = 6.

У ненулевого числового одночлена, например −6, степень равна 0: переменных нет, а сумма показателей пустого набора считается равной нулю. Нулевой одночлен 0 выделяют отдельно, поскольку его можно представить с любой переменной и любой степенью: 0 = 0x = 0x². Поэтому для него обычное правило степени не используют.

Элементы одночлена и примеры

В таблице удобно сначала найти числовой множитель, затем отделить от него буквенную часть и сложить показатели. Если переменных нет, используется особое правило для числового одночлена. Знак минус относится к коэффициенту, а не к буквенной части.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определить, какие из выражений 5a²b, 3a + b, 7/x являются одночленами. Проверим строение каждого выражения, а не только наличие букв. Одночлен должен быть произведением с неотрицательными целыми показателями.

1. В выражении 5a²b части соединены умножением, показатели 2 и 1 подходят. Значит, это одночлен.
2. В выражении 3a + b есть знак сложения. Оно является суммой двух одночленов, но не одним одночленом.
3. В выражении 7/x переменная находится в знаменателе, то есть фактически имеет показатель −1. Такой показатель не соответствует определению.

Ответ: одночленом является только 5a²b.

Задача 2

Условие: привести −2a · 3a²b к стандартному виду и указать коэффициент и буквенную часть. Здесь нужно отдельно обработать числа и одинаковые переменные. Такой порядок помогает не потерять знак и правильно сложить показатели.

1. Перемножим числовые множители: (−2) · 3 = −6.
2. Объединим одинаковые переменные: a · a² = a³, потому что 1 + 2 = 3. Переменная b остаётся с показателем 1.
3. Запишем коэффициент перед буквами: −2a · 3a²b = −6a³b.

Ответ: стандартный вид — −6a³b; коэффициент — −6, буквенная часть — a³b.

Задача 3

Условие: для одночлена 4x³y²z определить коэффициент и степень, затем найти степень одночлена −6. Сначала выделим числовую часть, после чего сложим показатели всех переменных. Числовой пример решается по отдельному правилу.

1. В одночлене 4x³y²z коэффициент равен 4, а показатели переменных равны 3, 2 и 1.
2. Сложим показатели: 3 + 2 + 1 = 6. Значит, степень первого одночлена равна 6.
3. В одночлене −6 переменных нет, а это ненулевой числовой одночлен. Его степень равна 0.

Ответ: для 4x³y²z коэффициент 4 и степень 6; степень одночлена −6 равна 0.

Типичные ошибки

Сумму считают одночленом. Ошибка возникает потому, что каждое слагаемое по отдельности может быть одночленом. Проверьте, есть ли между частями знак «+» или «−»: если есть, перед вами обычно сумма или разность, а не одно произведение.

Переменную в знаменателе записывают как обычный одночлен. В записи 1/x скрыта отрицательная степень x⁻¹, а отрицательные показатели в определение не входят. Чтобы проверить себя, замените деление на степень: если появился минус у показателя переменной, выражение не является одночленом в принятом смысле.

При нахождении степени показатели перемножают или выбирают самый большой. Так происходит из-за смешения правил действий со степенями. Нужно выписать все показатели и сложить их, например для a²b³ получить 2 + 3 = 5.

Коэффициент путают с буквенной частью или забывают знак. Коэффициент включает числовой множитель вместе с его знаком, поэтому в −4x² коэффициент равен −4, а не 4. Мысленно поставьте между частями знак умножения: (−4) · x².

Связь с другими темами

До изучения одночленов нужны навыки умножения и деления чисел, понимание буквенных выражений и правило умножения степеней с одинаковым основанием. Эти знания объясняют, как упрощать произведения и складывать показатели. Без них трудно правильно привести одночлен к стандартному виду.

Понятие одночлена используется при действиях с одночленами и многочленами. Оно помогает упрощать алгебраические выражения, приводить подобные слагаемые и решать уравнения. Умение видеть коэффициент, буквенную часть и степень делает дальнейшие преобразования более понятными.

Что запомнить

• Одночлен — произведение чисел и переменных с неотрицательными целыми показателями.
• Сумма одночленов не обязательно является одночленом.
• В стандартной записи коэффициент стоит перед буквенной частью.
• Коэффициент, не записанный явно, равен 1 или −1 с учётом знака.
• Степень одночлена равна сумме показателей переменных.
• Степень ненулевого числового одночлена равна нулю.
• Нулевой одночлен рассматривается отдельно при определении степени.