4.4. Произведение одночленов

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и буквенных переменных, возведённых в натуральные степени. Например, 5a²b и −3x — одночлены. Отдельное число или отдельная буква тоже считаются одночленами, потому что их можно рассматривать как произведение одного множителя.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой сначала стоит числовой множитель, а затем буквенная часть. Одинаковые переменные при этом объединяют в одну степень: 2a · a · b записывают как 2a²b. Такая запись помогает сразу увидеть коэффициент и степень.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. В одночлене −7x² коэффициент равен −7, а в x³ коэффициент 1 обычно не записывают. Коэффициент −1 также не пишут отдельно: −a означает −1 · a.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. Например, степень 4x²y³ равна 2 + 3 = 5. У ненулевого числа переменных нет, поэтому его степень считают равной нулю.

Как это устроено

При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают, а буквенные множители записывают рядом. Это работает потому, что произведение всех числовых и буквенных множителей можно переставлять и группировать, не меняя его значения. В результате снова получается произведение числа и переменных в натуральных степенях, то есть одночлен.

Если одна и та же переменная встречается в обоих множителях, её степени складывают. Например, x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵: всего пять множителей x. Поэтому действует правило a^m · aⁿ = a^m+n, а не умножение показателей.

Чтобы получить стандартный вид произведения, удобно действовать в определённом порядке. Сначала перемножьте коэффициенты, затем для каждой переменной соберите все её степени и сложите показатели. После этого расположите буквенную часть в обычном порядке, например сначала x, потом y, и не записывайте коэффициент 1.

Степень произведения ненулевых одночленов равна сумме их степеней. Действительно, при каждой переменной показатели из первого и второго множителей складываются, а затем все получившиеся показатели снова суммируются. Например, степень 2x²y · 3xy³ равна (2 + 1) + (1 + 3) = 7, что совпадает с суммой степеней 3 и 4.

Знак произведения определяют по правилам умножения целых чисел. Коэффициенты одинаковых знаков дают положительный результат, а разных знаков — отрицательный. Если хотя бы один множитель равен нулю, всё произведение равно нулю, независимо от остальных множителей.

Правила умножения одночленов

Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом: отдельно обработайте числа, одинаковые переменные и разные переменные. В конце проверьте знак и сложите показатели, чтобы найти степень результата.

Если множитель нулевой, обычные действия с буквенной частью уже не нужны: произведение сразу равно нулю. Во всех остальных случаях результат желательно записать в стандартном виде.

Разбор задач

Задача 1. Найти произведение 3x и 2x

Здесь оба множителя содержат одинаковую переменную x. Поэтому нужно отдельно перемножить коэффициенты 3 и 2, а затем объединить две степени x¹.

1. Перемножаем коэффициенты: 3 · 2 = 6.
2. Объединяем буквенные множители: x · x = x².
3. Соединяем результат: 3x · 2x = 6x².

Ответ: 6x².

Задача 2. Представить в стандартном виде произведение −2a²b и 3ab³

В этих одночленах встречаются переменные a и b, поэтому каждую из них обрабатываем отдельно. Сначала определим числовой множитель, затем соберём показатели одинаковых переменных.

1. Перемножаем коэффициенты: −2 · 3 = −6.
2. Для a складываем показатели: a² · a = a³.
3. Для b складываем показатели: b · b³ = b⁴.
4. Записываем стандартный вид: −2a²b · 3ab³ = −6a³b⁴.

Ответ: −6a³b⁴.

Задача 3. Найти произведение −3x²y, 2xy³ и −4y

Произведение содержит три множителя, поэтому их можно объединить последовательно или сразу. Два отрицательных коэффициента дают положительный знак, а показатели каждой переменной нужно сложить во всех трёх множителях.

1. Перемножаем коэффициенты: (−3) · 2 · (−4) = 24.
2. Собираем x: x² · x = x³.
3. Собираем y: y · y³ · y = y⁵.
4. Получаем стандартный вид: 24x³y⁵.
5. Находим степень: 3 + 5 = 8.

Ответ: 24x³y⁵, степень 8.

Типичные ошибки

Умножение показателей. Ошибка возникает, когда правило a^m · aⁿ путают с возведением степени в степень. Потренируйтесь раскрывать степени как произведение одинаковых множителей и пересчитывайте их количество.

Сложение коэффициентов. При умножении одночленов числа не складывают: в выражении 2x · 3y получится 6xy, а не 5xy. Проверить себя можно отдельно вычислив числовую часть по обычному правилу умножения.

Потеря знака. Отрицательный коэффициент иногда переписывают без минуса или забывают, что два минуса дают плюс. Сначала определите знак произведения чисел, а только потом перемножайте их модули.

Неверная степень. Иногда за степень принимают самый большой показатель одной переменной. Нужно сложить показатели всех переменных: степень 5a²b⁴ равна 2 + 4 = 6.

Связь с другими темами

До изучения произведения одночленов нужно уметь распознавать одночлены и приводить их к стандартному виду. Также понадобятся правила умножения чисел и свойство степеней с одинаковыми основаниями. Эти знания объясняют каждый шаг нового алгоритма.

Умножение одночленов используется при умножении многочленов: каждый одночлен одного многочлена умножают на каждый одночлен другого. Те же действия помогают упрощать алгебраические выражения и находить их степень.

Что запомнить

• Коэффициенты одночленов перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Показатели разных переменных не объединяют.
• Произведение записывают в стандартном виде.
• Степень произведения ненулевых одночленов равна сумме их степеней.
• Если один из множителей равен нулю, произведение равно нулю.