"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Алгебраическая дробь — это частное от деления одного многочлена или числа на другое: A/B. Главное правило работы с ней — знаменатель не должен обращаться в ноль. Поэтому сначала находят допустимые значения переменной, а затем применяют основное свойство дроби: умножают или делят числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение. Это позволяет раскладывать многочлены на множители, сокращать дроби и переносить знак минус.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, числителем и знаменателем которой являются числа или многочлены. Её общий вид записывают так: A/B, где A и B — некоторые выражения. Такая запись позволяет выполнять действия с переменными так же, как с числовыми дробями.
Числитель — выражение над чертой дроби, а знаменатель — выражение под чертой. Числитель показывает, что делят, а знаменатель — на что делят. Именно знаменатель определяет, какие значения переменной допустимы.
Допустимые значения переменной — это значения, при которых знаменатель алгебраической дроби не равен нулю. Их находят до преобразований, решая уравнение, полученное из знаменателя. Запрещённые значения в ответе нужно указывать отдельно.
Основное свойство алгебраической дроби: при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение дробь не изменяется. Например, A/B = (A·C)/(B·C), если C ≠ 0. Это свойство является основой сокращения и приведения дробей к удобному виду.
Алгебраическая дробь является частным от деления одного выражения на другое, потому что горизонтальная черта означает действие деления. От обычной числовой дроби она отличается наличием переменных и многочленов в числителе или знаменателе. Поэтому её значение может меняться при разных значениях переменной, а некоторые значения могут оказаться запрещёнными.
Если знаменатель равен нулю, дробь означает деление на ноль. Такое действие не определено: нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст числитель. Поэтому сначала решают уравнение B = 0 и исключают его корни из допустимых значений.
Сокращение возможно благодаря основному свойству дроби. Если после разложения числителя и знаменателя найден общий множитель C, то оба выражения можно разделить на C и получить равную дробь. Например, общий множитель появляется в записи (x² − 9)/(x² + 3x) после разложения многочленов.
После сокращения запрещённое значение может исчезнуть из новой записи, но сама дробь не была определена при этом значении изначально. Сокращение убирает общий множитель только в тех случаях, когда он не равен нулю. Поэтому ограничения всегда берут из исходного знаменателя и сохраняют рядом с результатом.
Знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. Если поменять знак только у одной части дроби, значение изменится на противоположное, а если поменять знаки у обеих частей, значение сохранится. Поэтому минус можно переносить между числителем, знаменателем и всей дробью, меняя знак целого выражения.
| Свойство или действие | Правило | Условие применения |
|---|---|---|
| Допустимые значения переменной | Знаменатель не равен нулю | Исключить корни уравнения, полученного из знаменателя |
| Умножение числителя и знаменателя | A/B = (A·C)/(B·C) | C не равно нулю; исходный знаменатель также не равен нулю |
| Деление числителя и знаменателя | A/B = (A:C)/(B:C) | C не равно нулю и является общим множителем |
| Сокращение дроби | Удаление общего множителя в числителе и знаменателе | Сокращаемый множитель не равен нулю |
| Изменение знаков | (−A)/B = A/(−B) = −(A/B) | Знаки меняются одновременно или минус переносится между частями дроби |
Сначала проверьте знаменатель и выпишите запрещённые значения переменной. Затем выберите нужное преобразование: умножение, деление или сокращение общих множителей. После вычислений сравните полученный результат с исходными ограничениями.
Найдём допустимые значения для дроби (3x + 1)/(x² − 9). Числитель не влияет на ограничения, поэтому рассматриваем только знаменатель. Нужно исключить значения, при которых он становится нулём.
Ответ: x ≠ 3, x ≠ −3.
Сократим дробь (x² − 9)/(x² + 3x) и не забудем об ограничениях. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, потому что сокращать отдельные слагаемые нельзя. Затем удалим общий множитель, сохранив исходные запрещённые значения.
Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0 и x ≠ −3. Значение x = −3 сохраняется в ограничениях, хотя в сокращённой записи оно уже не видно.
Упростим выражение (a² − b²)/(a − b) при a ≠ b, а затем найдём значение при a = 5 и b = 2. Условие a ≠ b уже гарантирует, что исходный знаменатель не равен нулю. Для преобразования используем формулу разности квадратов.
Ответ: упрощённое выражение a + b, его значение при a = 5 и b = 2 равно 7.
Разрешают значение, при котором знаменатель равен нулю, потому что после сокращения оно исчезло. Ошибка возникает из-за проверки только сокращённой записи. Чтобы проверить себя, найдите нули исходного знаменателя до любого сокращения.
Сокращают отдельные слагаемые в числителе и знаменателе, например пытаются убрать x из x + 3 и x + 5. Так делать нельзя, поскольку слагаемые соединены сложением, а не умножением. Сначала разложите многочлены на множители и ищите общий множитель.
Умножают или делят только числитель либо только знаменатель. Такое действие меняет значение дроби, поэтому равенство нарушается. Проверяйте, выполнено ли одно и то же действие с обеими частями и не равен ли дополнительный множитель нулю.
Неправильно переносят знак минус, меняя знак только у одного слагаемого внутри многочлена. Минус перед скобками относится ко всему выражению: −(a + b) = −a − b. Для проверки раскройте скобки или вынесите общий знак минус целиком.
До изучения алгебраических дробей нужны навыки действий с обыкновенными дробями, раскрытия скобок и разложения многочленов на множители. Также пригодится решение простейших уравнений, ведь через него находят запрещённые значения. Эти умения помогают выполнять преобразования без лишних ошибок.
Тема станет основой для сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. При сложении особенно важно находить общий знаменатель, а при умножении — раскладывать выражения на множители. Знание ограничений позволяет правильно записывать область допустимых значений.
Свойства алгебраических дробей применяются при решении рациональных уравнений и работе с рациональными выражениями. При таких преобразованиях можно получать более простую форму, но нельзя забывать о значениях, исключённых исходными знаменателями. Это помогает отличать равносильные преобразования от преобразований с потерей условий.
Почему нельзя подставлять значение, при котором знаменатель равен нулю?
Деление на ноль не имеет смысла: не существует числа, которое при умножении на ноль даёт заданный числитель. Поэтому такое значение переменной исключают из допустимых.
Можно ли сокращать слагаемые, а не множители?
Нет, сокращают только общие множители, то есть части, соединённые умножением. Слагаемые, соединённые знаками плюс или минус, сначала нужно объединить в множители разложением.
Почему после сокращения нужно помнить об исключённых значениях?
Сокращение меняет запись дроби, но не отменяет исходное условие: первоначальный знаменатель не был равен нулю. Поэтому значения, запрещённые до сокращения, остаются запрещёнными.
Как правильно перенести знак минус из числителя в знаменатель?
Минус можно вынести за дробь или перенести из числителя в знаменатель: (−A)/B = A/(−B) = −A/B. При переносе меняется знак всей части, а не одного слагаемого внутри многочлена.
Всегда ли две внешне разные алгебраические дроби равны?
Нет, равенство нужно проверять с учётом допустимых значений переменной. Дроби могут иметь разные записи, но быть равными при всех значениях, для которых обе определены.
7.1. Алгебраические дроби и их свойства
