5.1.1. Алгебраические дроби и их свойства

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями; знаменатель не должен быть равен нулю. Например, (x + 2)/(x − 3) — алгебраическая дробь. Это понятие нужно, чтобы применять к выражениям с переменными правила работы с дробями.

Числитель — верхняя часть дроби, знаменатель — нижняя. Именно знаменатель определяет, при каких значениях переменных дробь имеет смысл: делить на ноль нельзя. Поэтому при работе с дробью сначала проверяют её нижнюю часть.

Допустимые значения переменных — значения, при которых знаменатель алгебраической дроби не обращается в ноль. Например, для дроби 1/(x − 3) допустимы все x, кроме 3. Это условие записывают вместе с дробью, чтобы не выполнить преобразование в запрещённой точке.

Равные алгебраические дроби принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, дроби 1/x и 2/(2x) равны при x ≠ 0. Сравнивать такие дроби нужно с учётом того, где каждая из них определена.

Как это устроено

Чтобы определить допустимые значения, приравнивают знаменатель к нулю и находят значения переменных, при которых это возможно. Именно эти значения запрещены: при подстановке любого другого допустимого значения знаменатель остаётся ненулевым, а дробь можно вычислить. Например, у x − 3 нулевое значение получается при x = 3, поэтому его исключают. Если знаменатель содержит произведение множителей, проверяют каждый множитель.

Основное свойство дроби позволяет умножать или делить её числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение. Причина в том, что такое действие равносильно умножению дроби на 1: отношение частей не меняется. Например, дробь 1/x можно записать как 2/(2x), если x ≠ 0. При делении на выражение дополнительно проверяют, что оно не равно нулю.

Из основного свойства следуют правила для знаков. Если одновременно изменить знаки числителя и знаменателя, дробь умножится на (−1)/(−1), то есть на 1, и её значение останется прежним. Поэтому дробь с отрицательным знаменателем можно записать с плюсом в знаменателе, вынеся минус перед дробью. Если поменять знак только у одной части, значение дроби изменится на противоположное.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, сначала раскладывают числитель и знаменатель на множители. Затем находят одинаковый множитель и делят на него обе части дроби, убедившись, что этот множитель не равен нулю в рассматриваемых значениях. Например, в дроби (x² − 9)/(x² + 3x) общий множитель появляется после разложения на множители. Нельзя сокращать отдельные слагаемые, потому что сумма не является множителем каждого слагаемого.

Ограничения на переменные берут из знаменателя исходной дроби и сохраняют после любых преобразований. После сокращения знаменатель может выглядеть проще и даже не обращаться в ноль в прежней запрещённой точке, но исходная дробь там всё равно не была определена. Поэтому сокращённая запись равна исходной только при допустимых значениях исходной дроби. Это важно, например, при подстановке чисел или решении уравнений.

Основные свойства алгебраической дроби

Сначала проверьте, что знаменатель не равен нулю, а при сокращении — что общий множитель тоже ненулевой. Затем выберите нужную строку таблицы и выполните одинаковое действие с числителем и знаменателем. Для переменных не забывайте указывать ограничения исходной дроби.

Разбор задач

Задача 1. Для дроби (x + 2)/(x − 3) укажите допустимые значения переменной. Здесь числитель не влияет на область допустимых значений: деление запрещено только тогда, когда знаменатель равен нулю. Поэтому проверяем выражение x − 3.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x − 3 = 0.
2. Решаем уравнение и получаем x = 3.
3. Исключаем найденное значение; все остальные значения x допустимы.

Ответ: x ≠ 3.

Задача 2. Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 3x), указав ограничения на x. Сначала найдём значения, запрещённые исходным знаменателем, а потом разложим оба многочлена на множители. Такой порядок помогает не потерять ограничения при сокращении.

1. Знаменатель x² + 3x равен x(x + 3), поэтому x ≠ 0 и x ≠ −3.
2. Разложим числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Тогда дробь равна ((x − 3)(x + 3))/(x(x + 3)).
3. Сократим общий множитель x + 3. Получим (x − 3)/x, сохранив оба ограничения исходной дроби.

Ответ: (x − 3)/x, где x ≠ 0 и x ≠ −3.

Задача 3. Преобразуйте дробь (2a − 2b)/(a² − b²) и сравните её с 2/(a + b). Здесь разность квадратов в знаменателе подсказывает разложение на множители. До сокращения проверим, при каких значениях исходный знаменатель становится нулём.

1. Разложим выражения: 2a − 2b = 2(a − b), а a² − b² = (a − b)(a + b).
2. Из исходного знаменателя следует, что a ≠ b и a ≠ −b.
3. Сокращаем общий множитель a − b и получаем 2/(a + b). Это та же дробь на допустимых значениях исходного выражения.

Ответ: 2/(a + b), где a ≠ b и a ≠ −b. Ограничение a ≠ b сохраняется, хотя после сокращения его уже не видно в знаменателе.

Типичные ошибки

Не исключать нули исходного знаменателя — значит разрешить подстановку, при которой первоначальная дробь не определена. Так происходит, когда после сокращения ограничение становится незаметным. Проверяйте себя: перед преобразованием отдельно запишите уравнение «исходный знаменатель = 0».

Сокращение отдельных слагаемых неверно: например, нельзя вычеркнуть x в дроби (x + 2)/x, потому что x не является множителем всей суммы x + 2. Ошибку допускают, путая сложение с умножением. Перед сокращением разложите числитель и знаменатель на множители и сокращайте только одинаковые множители.

Делить числитель и знаменатель на выражение, которое может быть нулём, без дополнительного ограничения нельзя. Иначе преобразование будет выглядеть допустимым там, где деление на этот множитель невозможно. Проверьте его нули и либо исключите их, либо выберите другое преобразование.

Если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, значение дроби поменяется на противоположное. Обычно эту ошибку допускают, перенося минус через дробную черту. Для проверки сравните знаки обеих частей: при сохранении значения меняют знаки у числителя и знаменателя одновременно либо выносят один минус перед дробью.

Связь с другими темами

Для работы с алгебраическими дробями нужны свойства обыкновенных дробей: по ним выполняют умножение и деление числителя и знаменателя. Также пригодятся действия с многочленами и разложение многочленов на множители, потому что без этого часто нельзя сократить дробь. Эти знания помогают не только преобразовывать выражения, но и проверять допустимые значения переменных.

Дальше алгебраические дроби используют при сложении, вычитании, умножении и делении дробей. Они также встречаются в дробно-рациональных уравнениях, где особенно важно учитывать запретные значения знаменателей. Умение сохранять ограничения помогает не получить посторонние решения.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
• Допустимые значения находят по знаменателю исходной дроби.
• Умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение не меняет дробь.
• Сокращают только общие множители.
• После сокращения ограничения исходной дроби остаются в силе.
• Одновременная смена знаков числителя и знаменателя не меняет значения дроби.