"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Алгебраическая дробь — это дробь, в которой числитель и знаменатель являются выражениями с переменными. С такими дробями выполняют сложение, вычитание, умножение, деление и сокращение по правилам обыкновенных дробей, но сначала учитывают допустимые значения переменных. Главное — правильно выбрать общий знаменатель, не потерять ограничения и сокращать только общие множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями, а знаменатель не равен нулю. Например, (x + 1)/(x − 3) — алгебраическая дробь. Это понятие нужно, чтобы применять к выражениям с переменными правила действий с дробями.
Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель исходной дроби не обращается в ноль. Для дроби (x + 1)/(x − 3) условие имеет вид x ≠ 3. Такие ограничения показывают, при каких значениях выражение вообще имеет смысл.
Равные алгебраические дроби — дроби, значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Например, дроби x(x + 2)/(x + 2) и x равны только при x ≠ −2. Это позволяет заменять сложную дробь более простой, не забывая об исходном ограничении.
Общий знаменатель — выражение, на которое можно привести несколько дробей, умножив числитель и знаменатель каждой на один и тот же ненулевой множитель. Он должен делиться на каждый исходный знаменатель. С его помощью дроби превращаются в подобные, и их числители можно складывать или вычитать.
Перед любым действием находят допустимые значения переменных: каждый исходный знаменатель приравнивают к нулю и исключают полученные значения. Это нужно потому, что преобразование не может сделать определённым выражение, в котором раньше происходило деление на ноль. Поэтому ограничения записывают до решения и сохраняют до ответа.
При сложении и вычитании дроби сначала приводят к общему знаменателю. Причина в том, что складывать можно только доли одного размера, а разные знаменатели обозначают разные размеры долей. После приведения числители складывают или вычитают, потому что знаменатель у получившихся дробей одинаковый.
Чтобы выбрать общий знаменатель, знаменатели раскладывают на множители. В него берут каждый необходимый множитель в наибольшей степени: так каждый исходный знаменатель делится на общий без остатка, а лишнего повторения множителей не возникает. Затем для каждой дроби находят дополнительный множитель и домножают на него числитель и знаменатель.
При умножении перемножают числители между собой и знаменатели между собой. Общие множители можно сократить до умножения или после него, но только если они не равны нулю при допустимых значениях. При делении дробь-делитель заменяют обратной, поскольку умножение на обратное число даёт единицу; дополнительно сам делитель должен быть ненулевым.
В таблице собраны основные правила. В последнем столбце перечислены условия, которые нужно проверить до записи ответа. Сначала работайте с исходными знаменателями, а затем выполняйте сокращение и другие упрощения.
| Действие | Правило | Что проверить |
|---|---|---|
| Сложение | Привести дроби к общему знаменателю и сложить числители. | Исходные знаменатели не равны нулю. |
| Вычитание | Привести дроби к общему знаменателю и вычесть числители. | Исходные знаменатели не равны нулю. |
| Умножение | Перемножить числители и знаменатели, затем сократить общие множители. | Знаменатели не равны нулю. |
| Деление | Умножить первую дробь на дробь, обратную делителю. | Знаменатели и делитель не равны нулю. |
| Сокращение дроби | Разделить числитель и знаменатель на общий ненулевой множитель. | Сокращаемый множитель не равен нулю. |
Упростим (2x)/(3y) + x/(3y) и укажем ограничения. Знаменатели уже совпадают, поэтому искать дополнительный множитель не требуется. Ограничение появляется из условия 3y ≠ 0.
Ответ: x/y, y ≠ 0. Ограничение нельзя убрать после сокращения, потому что исходная дробь не была определена при y = 0.
Вычислим 1/(x − 2) − 1/(x + 2). Сначала исключим значения x = 2 и x = −2, при которых один из исходных знаменателей равен нулю. Затем приведём дроби к общему знаменателю.
Ответ: 4/((x − 2)(x + 2)), x ≠ 2, x ≠ −2. Эти ограничения взяты из исходных дробей.
Упростим ((x² − 9)/(x² − x − 6)) : ((x + 3)/(x − 3)). Здесь нужно учитывать и знаменатели, и условие ненулевого делителя. Поэтому ограничения определяем до сокращения.
Из исходных знаменателей: x ≠ 3, x ≠ −2. Делитель не равен нулю, значит x + 3 ≠ 0, то есть x ≠ −3. Ответ: (x − 3)/(x + 2), x ≠ 3, −2, −3.
Ошибка: складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так делают, перенося неверное правило сложения целых чисел на дроби. Проверьте себя: сначала должны появиться одинаковые знаменатели, а изменяться при сложении или вычитании должны только числители.
Ошибка: при приведении к общему знаменателю домножать только знаменатель. Из-за этого значение дроби меняется, ведь равенство сохраняется только при умножении числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Проверьте, что дополнительный множитель записан в обеих частях дроби.
Ошибка: сокращать отдельные слагаемые в числителе и знаменателе. Например, в выражении (x + 2)/x нельзя зачеркнуть x: слагаемое не является множителем всей суммы. Сначала разложите числитель и знаменатель на множители и сокращайте только одинаковые множители.
Ошибка: после упрощения забывать ограничения или условие ненулевого делителя. Сокращение убирает множитель из записи, но не возвращает запрещённые значения исходного выражения. Проверьте все исходные знаменатели и числитель дроби-делителя.
Для действий с алгебраическими дробями нужны правила действий с обыкновенными дробями, разложение многочленов на множители и свойства степеней. Именно эти навыки помогают находить общий знаменатель и выполнять сокращение без ошибок.
Дальше алгебраические дроби используются при преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений. Умение учитывать ограничения особенно важно, потому что при преобразованиях легко потерять запрещённые значения переменной.
Почему при сложении алгебраических дробей нельзя сложить знаменатели?
Знаменатель показывает, на какие части делится единица, поэтому при сложении дроби должны иметь одинаковые знаменатели. Складывают только числители, а общий знаменатель оставляют без изменения.
Как выбрать общий знаменатель для алгебраических дробей?
Сначала разложите знаменатели на множители. В общий знаменатель включите каждый множитель в наибольшей степени, которая встречается среди исходных знаменателей.
Можно ли сокращать дробь до разложения многочленов на множители?
Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые. Поэтому многочлены обычно сначала раскладывают на множители, а затем удаляют одинаковые множители в числителе и знаменателе.
Какие ограничения на переменную нужно записать после упрощения?
Нужно записать все значения, при которых знаменатели исходного выражения равны нулю. Эти ограничения сохраняются даже тогда, когда после преобразований соответствующий множитель исчез.
Почему при делении на алгебраическую дробь нужно проверить, что она не равна нулю?
Делить на ноль нельзя. Поэтому при делении проверяют не только знаменатели обеих дробей, но и числитель дроби-делителя: он также не должен обращаться в ноль.
5.1.2. Действия с алгебраическими дробями
