К главе I. Рациональные алгебраические выражения

Определения и обозначения

Рациональное алгебраическое выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий и целых неотрицательных степеней. Например, 3x² − 5 и (a + 1) / 2 подходят под это определение. Такие выражения позволяют записывать вычисления, когда числа заменены буквами. Это нужно, чтобы изучать зависимости и преобразовывать их по общим правилам.

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, (x + 2) / (x − 1) — алгебраическая дробь. Буквы в ней могут принимать разные значения, поэтому значение дроби зависит от их выбора. Понятие дроби помогает применять знакомые действия с обыкновенными дробями к выражениям с переменными.

Область допустимых значений — значения переменных, при которых выражение имеет смысл; у дроби знаменатель не должен быть равен нулю. Например, для 1 / (x − 4) нельзя взять x = 4. Область допустимых значений, или ОДЗ, показывает, какие подстановки разрешены. Её находят, чтобы не выполнять вычисления с выражением, которое не определено.

Тождественно равные выражения — выражения, значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Например, x + x и 2x равны при любом x. Речь идёт именно о допустимых значениях: если выражение содержит знаменатель, сравнение проводится с учётом ограничений. Это понятие позволяет проверять, сохраняет ли преобразование исходное выражение.

Как это устроено

Рациональные выражения строятся поэтапно: к числам и переменным применяют сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую неотрицательную степень. Например, из x и числа 3 можно получить 3x, затем 3x + 2, а также дробь (3x + 2) / (x − 1). Переменная в записи обозначает число, которое может меняться, поэтому правила вычислений остаются такими же, как для чисел. Важно лишь следить за делением: оно может запрещать некоторые значения.

Ограничения возникают прежде всего из знаменателей, потому что деление на ноль не определено. Чтобы найти запрещённые значения, приравнивают каждый знаменатель к нулю и исключают решения из области допустимых значений. Например, у дроби 1 / (x − 2) запрещено x = 2. ОДЗ устанавливают до преобразований: иначе можно упростить запись и случайно принять запрещённое значение за разрешённое.

Свойства числовых дробей применимы и к алгебраическим: общий множитель числителя и знаменателя можно сократить. Для этого выражения обычно сначала раскладывают на множители, то есть представляют в виде произведения. Например, в дроби (x² − 1) / (x − 1) числитель раскладывается как (x − 1)(x + 1), и общий множитель сокращается. Слагаемые сокращать нельзя: сокращение основано на делении числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель.

Преобразование должно сохранять значения выражения на его ОДЗ. Иногда после сокращения исходная дробь превращается в более простую запись, которая сама по себе допускает больше значений переменной, чем исходная. Например, сокращение множителя x − 3 не делает допустимым значение x = 3, если оно обращало исходный знаменатель в ноль. Поэтому ограничения, найденные до преобразования, записывают и сохраняют до конца решения.

Удобный порядок работы снижает риск ошибок. Сначала найдите ОДЗ исходного выражения, затем выполните нужные действия с дробями и упростите результат. В конце проверьте преобразования и убедитесь, что ответ не предлагает запрещённых значений. Такая проверка особенно полезна, если в ходе решения общий множитель исчез из знаменателя или вы делили на выражение.

Основные действия с алгебраическими дробями

Пользуйтесь таблицей как кратким планом действий: выберите нужную операцию и выполните указанный порядок. Столбец проверки помогает не потерять ограничения и не допустить недопустимого деления. Для любой операции сначала учитывайте ОДЗ исходных дробей.

Разбор задач

Задача 1. Найдите область допустимых значений выражения 5 / (x − 2). В дроби числитель не создаёт ограничений, а знаменатель должен оставаться ненулевым. Поэтому достаточно выяснить, при каком значении знаменатель обращается в ноль. Полученное значение нужно исключить из ответа.

1. Запишем условие для знаменателя: x − 2 ≠ 0.
2. Решим неравенство: x ≠ 2.
3. Значит, выражение определено при всех значениях x, кроме 2.

Ответ: x ∈ ℝ, x ≠ 2. Проверка проста: при x = 2 знаменатель равен нулю, а при любом другом x деление на ноль не возникает.

Задача 2. Сократите дробь (x² − 9) / (x − 3) и укажите, при каких x исходное выражение определено. Сначала выясним ограничение по исходному знаменателю, а затем разложим числитель на множители. Важно не забыть, что упрощение не меняет условие, при котором исходная дробь была определена.

1. Требование к знаменателю: x − 3 ≠ 0, значит, x ≠ 3.
2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Сократим общий множитель x − 3. Получим x + 3, но только при x ≠ 3.

Ответ: x + 3 при x ≠ 3. Подстановка любого другого значения даёт тот же результат, что и исходная дробь; значение x = 3 по-прежнему исключено.

Задача 3. Упростите выражение 1 / x + 1 / (x + 1) и укажите его область допустимых значений. Сначала проверим оба знаменателя, чтобы знать, какие значения разрешены. Затем приведём дроби к общему знаменателю и объединим числители. После упрощения сравним ответ с найденной ОДЗ.

1. Знаменатели не должны равняться нулю: x ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — x(x + 1). Представим сумму как (x + 1) / (x(x + 1)) + x / (x(x + 1)).
3. Сложим числители: (x + 1 + x) / (x(x + 1)) = (2x + 1) / (x(x + 1)).
4. Дополнительного сокращения нет; оба ограничения исходного выражения сохраняются.

Ответ: (2x + 1) / (x(x + 1)), x ≠ 0 и x ≠ −1. При этих условиях общий знаменатель ненулевой, поэтому преобразование допустимо.

Типичные ошибки

Нельзя сокращать отдельные слагаемые в числителе и знаменателе. Так делают, когда видят одинаковую букву или число в нескольких частях дроби, но сокращение возможно только для множителей всего числителя и знаменателя. Например, в сумме x + 2 нельзя просто сократить x с x в знаменателе. Проверьте себя: разложите числитель и знаменатель на произведения и ищите общий множитель.

После сокращения нельзя забывать нули знаменателя исходной дроби. Ошибка возникает потому, что в упрощённой записи запрещённый множитель уже не виден. Например, сокращение x − 3 не разрешает подставить x = 3 в исходную дробь. Проверяйте себя, сохраняя ОДЗ, найденную до преобразования.

При сложении дробей нельзя складывать знаменатели. Такая ошибка часто появляется из-за привычки выполнять одинаковое действие сверху и снизу, но правило требует сначала привести дроби к общему знаменателю. Складывают только числители, а знаменатель оставляют общим. Чтобы проверить результат, убедитесь, что обе исходные дроби действительно получили одинаковый знаменатель.

При делении на дробь нужно умножить на дробь, обратную делителю, и проверить, что сам делитель не равен нулю. Иногда вторую дробь забывают перевернуть или проверяют только знаменатель делимого выражения. Это опасно: нулевой делитель делает действие невозможным. Проверьте себя, записав деление как умножение на обратную дробь и отдельно найдя ограничения для исходного делителя.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными выражениями пригодятся действия с обыкновенными дробями: правила сложения, умножения и деления остаются теми же. Свойства степеней и разложение многочленов на множители помогают преобразовывать числители и знаменатели, а формулы сокращённого умножения — быстро находить общие множители. Позже эти навыки понадобятся при преобразовании рациональных выражений, решении рациональных уравнений и неравенств. Они также помогают записывать и изучать функции, заданные дробными выражениями.

Что запомнить

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Область допустимых значений определяют для исходного выражения.
• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• Для сложения и вычитания дроби сначала приводят к общему знаменателю.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Преобразованное выражение должно сохранять значения исходного на его области допустимых значений.