"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Функция описывает правило, по которому каждому допустимому значению одной величины соответствует ровно одно значение другой. Например, если стоимость одной тетради известна, по числу тетрадей можно однозначно найти общую стоимость. Независимую величину называют аргументом, а полученную — значением функции. Чтобы изучать функцию, нужно понимать её область определения, уметь вычислять значения по формуле и читать их по графику.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Например, если цена одной булочки постоянна, то по количеству булочек можно определить общую стоимость. Понятие функции помогает точно описывать такие правила соответствия.
Аргумент функции — независимая переменная, значение которой выбирают или задают. Обычно аргумент обозначают буквой x. Его задают, чтобы узнать, какое значение получится по правилу функции.
Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Например, в дроби нельзя делить на ноль, поэтому некоторые значения x приходится исключить. Область определения показывает, для каких аргументов можно пользоваться правилом.
Значение функции — значение зависимой переменной, соответствующее выбранному значению аргумента. Его часто обозначают f(x) или y. Это число получают, подставив аргумент в правило функции.
Представим, что билет стоит 50 рублей, а x обозначает число билетов. Общая стоимость равна 50x: выбрав число билетов, мы однозначно получаем стоимость. Такая зависимость является функцией, потому что одному количеству билетов соответствует одна цена. Если же для одного и того же количества указать две разные стоимости, правило перестанет задавать функцию.
Для функции каждому допустимому аргументу должно соответствовать ровно одно значение. Если одному x соответствуют два разных результата, по аргументу нельзя определить, какое значение зависимой переменной выбрать. Поэтому любая функция является зависимостью, но не любая зависимость — функцией. При этом разным аргументам разрешено соответствовать одно и то же значение функции.
Запись y = f(x) коротко передаёт правило соответствия. Буква x обозначает аргумент, f — само правило, а f(x) — результат его применения к выбранному x. Например, при f(x) = 3x − 2 запись f(4) означает, что в правило нужно подставить число 4. Так находят значение функции, не путая исходное число с полученным результатом.
Область определения зависит от того, каким правилом задана функция и какие ограничения накладывает это правило. Для выражения 3x − 2 можно подставить любое число, а для 1/(x − 5) нельзя брать x = 5: тогда знаменатель станет нулём. Поэтому, прежде чем вычислять значения, полезно проверить формулу на недопустимые действия. Ограничения могут быть указаны и отдельно от формулы.
График показывает соответствие между аргументом и значением функции на координатной плоскости. Каждому аргументу x соответствует точка с горизонтальной координатой x и вертикальной координатой f(x), то есть точка (x; f(x)). Чтобы прочитать значение функции, находят на графике точку с нужной абсциссой и смотрят её ординату. Если задано значение функции, можно искать точку с такой ординатой и определять её абсциссу.
| Понятие | Что обозначает | Как определить или прочитать |
|---|---|---|
| Функция | Зависимость с единственным значением для каждого допустимого аргумента | Проверить, что одному аргументу не соответствуют два разных значения |
| Аргумент | Независимая переменная, обычно x | Найти значение, которое подставляют в правило |
| Область определения | Все допустимые значения аргумента | Учесть ограничения формулы и условия задачи |
| Значение функции | Результат для выбранного аргумента | Подставить аргумент или прочитать ординату на графике |
| Запись y = f(x) | Обозначение правила и его результата | x — аргумент, f(x) — значение функции |
Сначала определите, что в задаче задано: аргумент, правило или значение функции. Затем воспользуйтесь подходящим столбцом, чтобы вычислить результат либо проверить допустимость аргумента. При чтении графика ориентируйтесь на координаты точки.
Задача 1. Для зависимости y = 3x − 2 найти значение y при x = 4. Здесь аргумент уже задан, поэтому не нужно искать область определения или строить график. Достаточно применить правило к числу 4.
Ответ: при x = 4 значение функции равно 10. Проверка проста: подстановка числа 4 в исходное правило должна дать тот же результат.
Задача 2. Для зависимости y = 1/(x − 5) определить, при каких значениях x она задана. Ограничение возникает из-за знаменателя: деление на ноль не определено. Поэтому нужно выяснить, при каком аргументе знаменатель обращается в ноль, и исключить его.
Ответ: область определения — все числа, кроме 5. Проверить вывод можно подстановкой: при x = 5 дробь не имеет смысла, а при любом другом x знаменатель не равен нулю.
Задача 3. По графику функции определить её значение при x = 2 и найти аргумент, которому соответствует y = 3. Сам график задаёт соответствия точек, поэтому для первого вопроса фиксируем горизонтальную координату, а для второго — вертикальную. Здесь нужно внимательно следить, какую координату ищем.
Ответ: численные значения зависят от графика; первое считывают как ординату при x = 2, второе — как абсциссу при y = 3. Если линия пересекает график несколько раз, перечисляют все найденные точки; для функции при одном x ордината может быть только одна.
Первая ошибка — считать функцией любую зависимость. Её допускают, если не проверяют, сколько результатов соответствует одному аргументу. Проверьте правило: при каждом допустимом x должен быть ровно один результат.
Вторая ошибка — путать аргумент x и значение функции f(x). Аргумент задают, а значение находят по правилу, но похожие обозначения легко смешать. Чтобы проверить себя, проговорите действие: подставляю x и вычисляю f(x).
Третья ошибка — указывать область определения, не проверив ограничения формулы. Часто забывают, что знаменатель не может быть равен нулю. Подставьте найденные граничные значения в формулу и убедитесь, что ни одно запрещённое действие не возникает.
Четвёртая ошибка — менять местами абсциссу и ординату при чтении графика. Это происходит, когда ученик не соотносит координаты с осями. Аргумент x откладывают по горизонтальной оси, значение функции — по вертикальной; точка записывается как (x; f(x)).
Для работы с функциями нужны навыки подстановки чисел в буквенные выражения и вычисления их значений. Например, чтобы найти f(4), приходится заменить x числом 4 и выполнить действия по порядку. Если эти вычисления вызывают затруднение, полезно сначала потренироваться на выражениях.
Понятие функции станет основой для изучения линейной и других функций, а также построения их графиков. Позже графики помогут решать уравнения: решение можно искать как точку пересечения соответствующих линий. Понимание аргумента и значения функции облегчает чтение таких графиков.
Чем функция отличается от любой другой зависимости?
Функция — это зависимость, в которой каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одно значение. В произвольной зависимости одному и тому же аргументу могут соответствовать несколько значений.
Что именно обозначает запись f(x)?
Запись f(x) обозначает значение функции при аргументе x. Например, если f(x) = 3x − 2, то f(4) = 10.
Как найти область определения функции?
Нужно определить, какие значения аргумента допустимы для заданного правила. Например, в дроби знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому для 1/(x − 5) исключаем x = 5.
Может ли одному значению аргумента соответствовать несколько значений функции?
Нет, иначе зависимость не будет функцией. Каждому допустимому аргументу соответствует только одно значение функции.
Как по графику найти значение функции?
Найдите на горизонтальной оси заданный аргумент x и проведите от него вертикальную линию до графика. Ордината точки пересечения и есть значение функции при этом x.
К главе II. Понятие о функциях
