"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадратный корень помогает восстановить число по его квадрату: если b² = a, то b — квадратный корень из a. У положительного числа таких корней два, они противоположны по знаку. Знак √ обозначает только неотрицательный, арифметический корень, поэтому √a имеет смысл в действительных числах лишь при a ≥ 0. Эти правила нужны для вычислений, оценки корней и решения квадратных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число b называют квадратным корнем из числа a, если b² = a. Например, 3 — квадратный корень из 9, потому что 3² = 9. Это определение позволяет найти число, зная его квадрат, и записать такую задачу равенством.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это его неотрицательный квадратный корень. Например, у числа 16 арифметический корень равен 4, а не −4. Условие «неотрицательный» помогает выбрать одно значение, когда квадратных корней два.
Знак √ называют знаком корня; запись √a означает арифметический квадратный корень из a. Поэтому √16 = 4, а значение −4 не обозначается записью √16. Это обозначение удобно для краткой записи результата извлечения корня.
Подкоренным выражением называют выражение, записанное под знаком корня. В записи √(x + 1) таким выражением является x + 1. Оно показывает, из какого числа или выражения извлекают корень, и помогает проверить, допустимо ли это действие.
Возведение числа в квадрат превращает его в результат умножения числа на себя, а извлечение корня помогает восстановить исходное число по этому результату. Например, из равенства 7² = 49 следует, что арифметический корень из 49 равен 7. Эти действия не всегда полностью отменяют друг друга: при поиске всех решений уравнения x² = 49 нужно учесть и −7, ведь (−7)² тоже равно 49.
У положительного числа два квадратных корня, потому что при умножении на себя число и противоположное ему дают одинаковый результат: b² = (−b)². Поэтому у 25 корни 5 и −5. Однако знак √ специально закреплён за неотрицательным корнем, чтобы у записи √25 было одно значение — 5.
В действительных числах корень из отрицательного числа найти нельзя. Квадрат положительного числа положителен, квадрат отрицательного тоже положителен, а квадрат нуля равен нулю. Значит, квадрат не может оказаться отрицательным, поэтому √a определён только при a ≥ 0.
Корни из полных квадратов находят подбором числа, квадрат которого равен подкоренному. Например, 12² = 144, поэтому √144 = 12. Проверка возведением в квадрат подтверждает результат, а неотрицательность ответа отличает арифметический корень от второго квадратного корня −12.
Если число не является полным квадратом, можно определить промежуток, в котором находится его корень. Для этого сравнивают число с квадратами соседних целых чисел: если 5² < 30 < 6², то 5 < √30 < 6. Корень неотрицателен, а при возведении неотрицательных чисел в квадрат порядок сохраняется, поэтому такое сравнение даёт верную оценку.
| Ситуация | Что означает | Пример или условие |
|---|---|---|
| Квадратные корни из положительного числа | Два противоположных числа, квадраты которых равны данному числу. | Корни из 9: 3 и −3. |
| Квадратный корень из нуля | Единственное число, квадрат которого равен нулю. | Корень из 0 — число 0. |
| Арифметический квадратный корень | Неотрицательный квадратный корень; обозначается знаком √. | √9 = 3. |
| Корень из отрицательного числа в действительных числах | Не существует, так как квадрат действительного числа неотрицателен. | √(−4) не определён в действительных числах. |
Сначала определи, спрашивают ли все квадратные корни или арифметический корень: от этого зависит количество ответов. Затем проверь знак числа под корнем. Если нужно оценить корень, сравни подкоренное число с квадратами соседних целых чисел.
Задача 1. Найдите все квадратные корни из 49. Здесь требуется найти все числа, а не только значение выражения с √. Поэтому обозначим искомое число буквой x и составим условие, которому оно должно удовлетворять.
Ответ: 7 и −7. Оба значения подходят по определению квадратного корня.
Задача 2. Найдите значение выражения √144 − √25. Знак √ указывает на арифметический корень, поэтому в каждом слагаемом берём только неотрицательное значение. Сначала вычислим корни, а затем выполним вычитание.
Ответ: 7. Отрицательные числа −12 и −5 здесь не подставляем, потому что знак корня задаёт арифметический корень.
Задача 3. Между какими соседними целыми числами находится √30? Число 30 не является квадратом целого числа, поэтому точное значение корня искать не нужно. Найдём квадраты целых чисел, между которыми расположено 30.
Ответ: √30 находится между 5 и 6. Такое сравнение даёт оценку, не требуя вычислять корень точно.
Ошибка: считать, что √a — это два числа. Её допускают, потому что у положительного числа действительно два квадратных корня. Но знак √ обозначает только арифметический корень, поэтому √a имеет одно неотрицательное значение. Проверь себя на примере: √25 = 5, а оба решения уравнения x² = 25 — 5 и −5.
Ошибка: записывать √a = −b при b > 0. Так рассуждают, вспоминая отрицательный квадратный корень, но арифметический корень по определению неотрицателен. Отрицательное число может быть корнем уравнения x² = a, но не значением √a. Перед ответом проверь знак: результат с символом √ не должен быть меньше нуля.
Ошибка: считать, что корень из отрицательного числа существует среди действительных чисел. Такое мнение может возникнуть из-за того, что отрицательные числа тоже можно возводить в квадрат. Однако квадрат отрицательного числа положителен, а не отрицателен. Чтобы проверить допустимость корня, посмотри на подкоренное выражение: оно должно быть неотрицательным.
Ошибка: путать все корни уравнения x² = a с вычислением √a. В уравнении при a > 0 подходят два противоположных числа, а запись √a обозначает только одно, неотрицательное. Путаница появляется потому, что в обоих случаях ищут число, связанное с квадратом. Проверяй формулировку задания: «найти корни уравнения» — учти оба значения, «вычислить √a» — запиши арифметический корень.
Для работы с квадратными корнями нужно уверенно возводить числа в квадрат и знать квадраты целых чисел: это помогает быстро находить корни и оценивать их. Дальше корни понадобятся при решении квадратных уравнений и упрощении выражений. Они также встречаются при изучении функций с корнем, где важно учитывать, при каких значениях выражения корень определён.
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратный корень из числа — любое число, квадрат которого равен этому числу. Арифметический квадратный корень — неотрицательный корень, обозначаемый знаком √. Например, квадратные корни из 25 — 5 и −5, а √25 = 5.
Почему у числа 25 два квадратных корня, а √25 равно только 5?
И 5, и −5 при возведении в квадрат дают 25, поэтому оба являются квадратными корнями. Но знак √ по определению обозначает только неотрицательный корень. Поэтому √25 = 5.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому под знаком корня должно стоять число, не меньшее нуля.
Как проверить, правильно ли найден квадратный корень?
Возведи полученное число в квадрат. Если результат равен подкоренному числу, корень найден правильно. Для арифметического корня также проверь, что ответ неотрицателен.
Как оценить корень из числа, которое не является полным квадратом?
Найди квадраты ближайших целых чисел по обе стороны от данного числа. Если n² < a < (n + 1)², то n < √a < n + 1. Например, 25 < 30 < 36, значит, 5 < √30 < 6.
К главе III. Квадратные корни
