"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадратное уравнение содержит переменную во второй степени и записывается как ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его корни — значения переменной, при которых равенство становится верным. Число действительных корней можно определить по дискриминанту D = b² − 4ac, а сами корни — найти по формуле. Если уравнение неполное, то есть в нём отсутствует один или несколько членов, часто удаётся обойтись более простым способом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Буквы a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c — свободный член. Стандартная запись помогает увидеть, с каким видом уравнения мы имеем дело, и выбрать способ решения.
Корень квадратного уравнения — это значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, если после подстановки вместо x левая часть становится равна нулю, найденное значение подходит. Понятие корня нужно, чтобы отличать решения уравнения от чисел, которые лишь встречаются в вычислениях.
Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором b или c равны нулю либо оба равны нулю. Если b = 0, нет члена с x; если c = 0, нет свободного члена. Такое уравнение часто проще полного, поэтому сначала стоит проверить, не подходит ли оно под один из этих видов.
Дискриминант квадратного уравнения — выражение D = b² − 4ac, составленное из его коэффициентов. По значению D судят, сколько у уравнения действительных корней, ещё до их вычисления. Это помогает понять, нужно ли применять формулу корней и чего ожидать от решения.
Чтобы привести уравнение к стандартному виду, переносят все слагаемые в одну часть, а в другой оставляют ноль. При переносе через знак равенства слагаемое меняет знак: это сохраняет равенство, поскольку к обеим частям фактически прибавляют одно и то же число. Затем приводят подобные слагаемые и проверяют, что у членов с x², x и без x стоят правильные коэффициенты.
Условие a ≠ 0 отличает квадратное уравнение от линейного. Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и наибольшая степень переменной становится первой, если b тоже не равен нулю. Поэтому такое уравнение решают уже как линейное, а формула квадратного уравнения к нему неприменима.
Дискриминант появляется при выводе формулы корней и показывает, можно ли извлечь действительный квадратный корень в этом решении. Если D > 0, число √D положительно, и выражения −b + √D и −b − √D дают два разных корня. При D = 0 эти выражения совпадают, поэтому корень один; при D < 0 действительного числа √D нет, значит, действительных корней уравнение не имеет.
Формулу корней можно получить, разделив уравнение ax² + bx + c = 0 на a и выделив полный квадрат — преобразовав часть выражения в квадрат двучлена. После переноса оставшихся слагаемых получается равенство вида (x + b/(2a))² = D/(4a²). Извлечение квадратного корня даёт два случая со знаками плюс и минус, а после выражения x получается формула x = (−b ± √D)/(2a). Именно подкоренное выражение в этом выводе связано с дискриминантом.
Неполные уравнения часто удобнее решать напрямую, потому что в них пропущен один из членов и вычисления сокращаются. В уравнении без линейного члена можно выразить x² и извлечь квадратный корень, учитывая оба знака. Если свободный член равен нулю, удобно вынести x за скобки: тогда произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей.
| Вид уравнения | Условие на коэффициенты | Способ решения | Число действительных корней |
|---|---|---|---|
| Полное квадратное уравнение | b ≠ 0 и c ≠ 0 | Вычислить D и применить формулу корней | Два при D > 0, один при D = 0, ни одного при D < 0 |
| Неполное без линейного члена | b = 0, уравнение ax² + c = 0 | Выразить x² и извлечь квадратный корень | Два, один или ни одного — в зависимости от значения −c/a |
| Неполное без свободного члена | c = 0, уравнение ax² + bx = 0 | Вынести x за скобки и приравнять множители к нулю | Один или два различных корня |
| Неполное без линейного члена и свободного члена | b = 0 и c = 0, уравнение ax² = 0 | Разделить на a и решить x² = 0 | Один корень: x = 0 |
Сначала сравните уравнение со стандартной записью и определите, какие коэффициенты равны нулю. Для полного уравнения используйте дискриминант, а для неполного выберите более короткий способ из таблицы. В строках о числе корней речь идёт о различных действительных корнях.
Задача: решить уравнение x² − 9 = 0. Линейного члена здесь нет, поэтому удобно не подставлять коэффициенты в общую формулу, а выразить квадрат переменной. При извлечении корня нужно рассмотреть два противоположных значения, поскольку каждое из них в квадрате даёт 9.
Ответ: x = −3; 3. Обе подстановки превращают исходное уравнение в верное равенство, значит, найдены оба корня.
Задача: решить уравнение 2x² + 5x = 0. Свободного члена нет, поэтому в каждом слагаемом есть общий множитель x. После его вынесения получится произведение, равное нулю; оно обращается в ноль, когда нулём становится хотя бы один множитель.
Ответ: x = 0; −5/2. Если бы мы сразу поделили уравнение на x, корень x = 0 потерялся бы, поэтому делить на переменную до выделения случая x = 0 нельзя.
Задача: решить уравнение 3x² − 4x − 2 = 0. Здесь присутствуют все три члена, так что сначала определяем коэффициенты, затем находим дискриминант. Положительный дискриминант означает, что в формуле возникнут два разных значения корня.
Ответ: x₁ = (2 + √10)/3; x₂ = (2 − √10)/3. При подстановке коэффициента b важно сохранить его знак: в числителе формулы стоит −b, поэтому здесь получается −(−4) = 4.
При переносе слагаемого через знак равенства иногда оставляют прежний знак. Это происходит, если запоминают правило механически и не проверяют преобразование. Чтобы себя проверить, подставьте полученное выражение в исходное равенство или выполните то же действие с обеими частями уравнения.
Иногда уравнение считают квадратным, даже если коэффициент при x² равен нулю. Причина — внимание к внешнему виду записи, а не к коэффициенту перед квадратом переменной. Перед решением проверьте, что a ≠ 0: если a = 0, нужно решать уравнение другого вида.
При решении x² = a можно записать только x = √a и забыть отрицательное значение. Ошибка появляется из-за смешения квадратного корня √a, который обозначает неотрицательное число, и всех решений уравнения. При a > 0 запишите x = ±√a и проверьте возведением в квадрат оба значения.
Ошибки в дискриминанте и формуле часто связаны с тем, что отрицательные коэффициенты подставляют без скобок. Например, b² при b = −4 — это (−4)², а не −4²; в выражении −4ac нужно учитывать знаки и a, и c. Запишите коэффициенты отдельно, подставляйте их со скобками и затем проверьте вычисления, подставив найденные корни в уравнение.
Для решения квадратных уравнений пригодятся навыки, которые уже изучались: решение линейных уравнений, преобразование выражений и работа с квадратами чисел. Если эти действия вызывают затруднения, полезно сначала повторить перенос слагаемых, приведение подобных и правила знаков. Квадратные уравнения, в свою очередь, помогают решать задачи на движение, площадь и другие зависимости. Они также встречаются при изучении функций и неравенств, поэтому способы их решения понадобятся и в следующих темах алгебры.
Почему коэффициент при x² не может быть равен нулю?
Если коэффициент a равен нулю, член ax² исчезает, и уравнение становится линейным или превращается в равенство без переменной. Поэтому для квадратного уравнения обязательно условие a ≠ 0.
Как понять, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Сначала вычислите дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, есть два действительных корня; если D = 0 — один; если D < 0, действительных корней нет.
Что делать, если дискриминант равен нулю?
Уравнение имеет один действительный корень, который можно найти по формуле x = −b/(2a). В общей формуле это соответствует совпадению двух значений, так как √D = 0.
Почему при решении x² = a нужно учитывать два знака?
У положительного числа a есть два противоположных квадратных корня: например, и 3, и −3 при возведении в квадрат дают 9. Поэтому при a > 0 записывают x = ±√a; при a = 0 корень один, а при a < 0 действительных решений нет.
Всегда ли неполное квадратное уравнение нужно решать через дискриминант?
Нет, часто есть более короткий способ. Например, в уравнении без линейного члена можно выразить x² и извлечь корень, а если свободный член равен нулю — вынести x за скобки.
К главе IV. Квадратные уравнения
