К главе V. Рациональные уравнения

Определения и обозначения

Рациональным называют уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями. Такие выражения составляют из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. Например, 3x − 7 = 11 и 1/x = 2 — рациональные уравнения, а уравнение √x = 2 к ним не относится. Это определение помогает понять, какие способы преобразования можно применять.

Целое рациональное уравнение — рациональное уравнение, в котором переменная не стоит в знаменателе. Пример: 3x − 7 = 11 или x² + 2x = 0. В нём нет дроби с переменной в знаменателе, поэтому при решении не возникает ограничений такого рода. Различать целые и дробные уравнения нужно, чтобы выбрать правильный порядок решения.

Дробно-рациональным называют рациональное уравнение, в котором переменная входит в знаменатель хотя бы одного выражения. Например, в уравнении (x + 1)/(x − 2) = 3 переменная стоит в знаменателе x − 2. Не всякая запись дроби делает уравнение дробно-рациональным: в дроби ½ переменной в знаменателе нет. Этот признак подсказывает, что до решения придётся определить допустимые значения переменной.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — это все значения переменной, при которых выражения уравнения имеют смысл. Для дробей требуется, чтобы каждый знаменатель был отличен от нуля: на ноль делить нельзя. Например, для выражения 1/(x − 2) значение x = 2 запрещено. ОДЗ нужна, чтобы работать только с допустимыми значениями и не включить в ответ невозможный корень.

Как это устроено

Чтобы определить вид уравнения, сначала посмотри на его части и проверь, есть ли переменная под знаком корня или в знаменателе. В уравнении 3x − 7 = 11 переменная находится только в числителях, поэтому оно рациональное и целое. Уравнение 1/(x − 2) = 3 тоже рациональное, но дробно-рациональное. А уравнение √x = 3 не относится к рациональным, потому что содержит корень из переменной.

Решение дробно-рационального уравнения начинают с ОДЗ, потому что исходная запись имеет смысл не при каждом значении переменной. Если сразу выполнять преобразования, можно не заметить число, при котором знаменатель равен нулю. Например, в уравнении с знаменателем x − 2 нужно исключить x = 2. Запись ОДЗ заранее отделяет допустимые значения от тех, которые нельзя подставлять в исходное уравнение.

Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель — выражение, на которое делится каждый знаменатель дробей. При этом умножают не только отдельную дробь, а каждый член обеих частей уравнения. На ОДЗ общий знаменатель не равен нулю, поэтому умножение не меняет множество решений среди допустимых значений. После такого шага часто получается целое уравнение, которое решать привычнее.

Если умножить уравнение на выражение с переменной, которое может стать нулём, преобразование требует осторожности. В точке, где множитель равен нулю, умножение может превратить неверное равенство в верное и добавить постороннее значение. В дробно-рациональном уравнении нулевые значения общего знаменателя уже исключены ОДЗ, поэтому именно на ОДЗ умножение безопасно. Если преобразование делали без предварительно записанной ОДЗ, найденные корни особенно важно проверить.

Общий порядок решения помогает не пропустить ни одного ограничения. Сначала находят ОДЗ, затем преобразуют уравнение, решают полученное уравнение и проверяют каждый найденный корень. Проверка включает исключение значений вне ОДЗ и подстановку оставшихся значений в исходную запись. Так можно отличить настоящий корень от результата, появившегося из-за преобразования.

Виды рациональных уравнений и основные шаги их решения

Сначала найди строку «Признак вида» и определи, в какой столбец попадает уравнение. Затем сверься с шагами из соответствующего столбца: для дробного уравнения особенно важно не пропустить ОДЗ. Последняя строка напоминает, что найденные значения проверяют, а не просто переписывают в ответ.

Разбор задач

Решить уравнение 3x − 7 = 11. Переменной в знаменателе нет, поэтому это целое рациональное уравнение, и ОДЗ из-за знаменателей здесь не требуется. Чтобы найти x, нужно по очереди отменить действия, выполненные с ним: сначала прибавить 7, а потом разделить на 3. Подстановка в исходное уравнение подтвердит результат.

1. Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
2. Разделим обе части на 3: x = 6.
3. Проверим: 3 · 6 − 7 = 18 − 7 = 11, равенство верно.

Ответ: x = 6.

Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3. Здесь x стоит в знаменателе, поэтому начнём с ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в ноль. После этого умножим обе части на общий знаменатель x − 2, чтобы избавиться от дроби. Найденное значение сравним с ограничением и подставим в исходное уравнение.

1. Запишем ОДЗ: x − 2 ≠ 0, значит, x ≠ 2.
2. Умножим обе части на x − 2: x + 1 = 3(x − 2).
3. Раскроем скобки и решим: x + 1 = 3x − 6; 7 = 2x; x = 7/2.
4. Число 7/2 не равно 2. Проверка: ((7/2) + 1)/((7/2) − 2) = (9/2)/(3/2) = 3.

Ответ: x = 7/2.

Решить уравнение 1/x + 1/(x − 1) = 3/(x(x − 1)). В знаменателях стоят x, x − 1 и x(x − 1), поэтому сначала исключим значения, обращающие их в ноль. Общий знаменатель — x(x − 1); умножение на него превратит уравнение в целое. В конце проверим, что полученный корень допустим и удовлетворяет исходной записи.

1. ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 1.
2. Умножим каждый член обеих частей на x(x − 1): (x − 1) + x = 3.
3. Решим уравнение: 2x − 1 = 3, откуда 2x = 4 и x = 2.
4. Число 2 входит в ОДЗ. Проверка: 1/2 + 1/(2 − 1) = 3/2, а 3/(2(2 − 1)) = 3/2.

Ответ: x = 2.

Типичные ошибки

Некоторые начинают преобразования, не записав ОДЗ, и оставляют в ответе значение, при котором знаменатель равен нулю. Так происходит, если сосредоточиться только на полученном уравнении и забыть об исходной записи. До решения приравняй каждый знаменатель к нулю и исключи найденные значения. В конце сверь корни с этим списком ограничений.

При умножении на общий знаменатель иногда умножают только дроби, забывая про другие слагаемые или одну из частей равенства. Тогда получается уже другое уравнение, а его корни не обязаны подходить исходному. Чтобы проверить себя, запиши умножение отдельной строкой и поставь общий множитель перед каждым членом обеих частей. После упрощения проверь, что из каждой дроби действительно исчез знаменатель.

Сокращать дробь на выражение с переменной без оговорки опасно, потому что это выражение может равняться нулю. Например, деление обеих частей на x допустимо только при условии x ≠ 0; иначе можно потерять решение или изменить множество корней. Перед таким сокращением выясни, может ли множитель стать нулём, и зафиксируй ограничение. Надёжнее сначала работать на ОДЗ и затем проверить все полученные значения.

Корень преобразованного уравнения не всегда автоматически становится корнем исходного. Например, при умножении на выражение, которое где-либо равно нулю, могли появиться посторонние значения; кроме того, часть чисел запрещена ОДЗ. Не переписывай корни в ответ сразу: подставь их в исходное уравнение и проверь знаменатели. Оставь только значения, при которых равенство верно и все выражения определены.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений нужны навыки действий с дробями и рациональными выражениями. Также важно уметь находить значения переменной, при которых знаменатель становится нулём: именно они помогают записать ОДЗ. Преобразования опираются на свойства равенств, а полученное целое уравнение может потребовать решения линейного или квадратного уравнения. В задачах на движение, работу и совместное выполнение работы рациональные уравнения помогают связать величины и найти неизвестную.

Что запомнить

• В дробно-рациональном уравнении переменная стоит в знаменателе.
• Знаменатель не может быть равен нулю.
• ОДЗ находят до преобразования уравнения.
• Умножение на общий знаменатель помогает избавиться от дробей.
• После преобразований корни проверяют по ОДЗ и в исходном уравнении.
• Корень, не входящий в ОДЗ, не является корнем исходного уравнения.