К главе VI. Элементы статистики

Определения и обозначения

Статистические данные — числовые сведения о наблюдаемых объектах или явлениях. Их получают, например, измерениями, подсчётом или опросом. Данные описывают выбранные признаки: рост учеников, число прочитанных страниц или ответы участников. Чтобы выводы были полезными, нужно понимать, кого или что наблюдали и что именно измеряли.

Частота значения — число раз, которое это значение встречается в наборе данных. Чтобы её найти, просматривают все наблюдения и считают совпадения с выбранным значением. Например, если число 12 записано три раза, его частота равна 3. Частота помогает увидеть, какие результаты встречались чаще.

Относительная частота — отношение частоты значения к общему числу наблюдений. Её находят делением частоты на число всех наблюдений. Такое отношение можно записать обыкновенной дробью, десятичным числом или процентом: это разные способы выразить одну и ту же долю. Относительная частота показывает не просто количество случаев, а их долю в наборе.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора. Для его нахождения из максимального значения вычитают минимальное. Например, размах показывает, насколько далеко друг от друга расположены крайние результаты. Он даёт представление о ширине разброса данных, но не сообщает, много ли значений находится около каждого края.

Как это устроено

Статистическое исследование начинают со сбора данных и ясного вопроса. Сначала определяют, какие объекты рассматривают и какой признак у каждого объекта будут записывать. Это нужно потому, что без общего правила результаты нельзя правильно сравнить: например, число прочитанных страниц за день нельзя смешивать с числом страниц за неделю. Затем собирают наблюдения одним и тем же способом, чтобы различия отражали сами данные, а не разные условия измерения.

Когда наблюдений много, читать их по одному неудобно. Поэтому одинаковые значения группируют и записывают в таблицу частот: рядом с каждым значением указывают, сколько раз оно встретилось. Каждое наблюдение должно попасть ровно в одну группу, иначе подсчёт изменится. Проверка проста: сумма всех частот должна равняться числу исходных наблюдений, потому что таблица распределяет по группам весь набор.

Частота зависит от размера набора: 10 ответов могут казаться частыми среди 20 участников, но редкими среди 1000. Относительная частота решает эту проблему, показывая долю ответов от общего числа. Поэтому результаты исследований с разным количеством участников можно сравнивать по долям, а не только по количествам. Если сложить доли всех возможных значений, получится целый набор: 1, или 100%.

Одни и те же данные можно показать таблицей или диаграммой. Таблица удобна, когда нужны точные значения и подсчёты, а диаграмма помогает быстрее заметить, какие значения преобладают и как они соотносятся. Способ представления выбирают по цели: если важно сравнить частоты, их должно быть легко сопоставить. При этом таблица и диаграмма не меняют исходные данные, а только показывают их в более удобном виде.

Числовые характеристики дополняют таблицу частот, потому что с их помощью можно кратко описать набор. Среднее арифметическое получают, складывая все наблюдения и деля сумму на их количество; оно показывает общий уровень результатов. Размах находят по двум крайним значениям, поэтому он сообщает ширину охвата данных. Эти характеристики отвечают на разные вопросы: среднее — где находится общий уровень, размах — насколько удалены друг от друга крайние результаты.

Основные способы описания статистических данных

Сначала выбери характеристику, которая отвечает на нужный вопрос: количество случаев, долю, общий уровень или ширину разброса. Таблица помогает упорядочить значения и частоты, а среднее и размах дают краткое описание набора. При вычислении среднего учитывай все наблюдения, включая повторяющиеся.

Разбор задач

Таблица частот и частота значения

Условие. За неделю ученик прочитал 12, 15, 12, 18 и 13 страниц в день. Нужно составить таблицу частот и найти частоту чтения 12 страниц. Сначала определим, какие результаты различаются, а затем подсчитаем, сколько раз встретился каждый результат. Так мы не потеряем повторяющееся значение и сможем проверить общий подсчёт.

1. Выпишем различные значения по возрастанию: 12, 13, 15, 18.
2. Подсчитаем появления: 12 встречается два раза, а 13, 15 и 18 — по одному разу.
3. Проверим сумму частот: 2 + 1 + 1 + 1 = 5, то есть число дней наблюдения.

Ответ. Таблица частот содержит пары 12 — 2, 13 — 1, 15 — 1, 18 — 1. Частота чтения 12 страниц равна 2. Значит, такой результат был зафиксирован в два дня.

Относительная частота

Условие. В опросе участвовали 40 учеников, и 14 из них выбрали плавание. Найдём относительную частоту ответа в процентах. Для этого сравним число выбравших плавание со всеми участниками опроса. Процент позволит выразить долю на шкале из 100 частей.

1. Частота ответа равна 14, а число наблюдений — 40.
2. Разделим частоту на общее число: 14 / 40 = 0,35.
3. Переведём десятичную дробь в проценты: 0,35 · 100% = 35%.

Ответ. Относительная частота выбора плавания равна 35%. Это значит, что плавание выбрали 35 учеников из каждых 100 при таком же соотношении ответов. Проверка смысла: результат меньше 100%, потому что плавание выбрали не все участники.

Среднее арифметическое и размах

Условие. Даны результаты измерений: 6, 8, 8, 9, 11, 13. Найдём среднее арифметическое и размах, а затем истолкуем их. Среднее учитывает все шесть результатов, поэтому число 8 нужно включить в сумму дважды. Для размаха понадобятся только максимальное и минимальное значения.

1. Сложим результаты: 6 + 8 + 8 + 9 + 11 + 13 = 55.
2. Разделим сумму на число измерений: 55 / 6 = 9⅙.
3. Вычтем минимум из максимума: 13 − 6 = 7.

Ответ. Среднее арифметическое равно 9⅙, то есть общий уровень измерений находится примерно около 9. Размах равен 7, поэтому крайние значения отличаются на 7 единиц. Среднее описывает набор целиком, а размах говорит о расстоянии между его краями.

Типичные ошибки

При составлении таблицы частот иногда пропускают значение или считают его дважды. Это случается, когда подсчёт ведут по неотмеченному списку и сбиваются на повторениях. Проверь, что каждое различное значение есть в таблице и что каждое исходное наблюдение учтено один раз. Сумма частот должна совпасть с количеством наблюдений.

Относительную частоту иногда находят, деля общее число наблюдений на частоту. Так получается обратное отношение, которое не показывает долю выбранного значения. Правильное действие: частоту разделить на число всех наблюдений. Проверь результат: относительная частота не должна быть больше 1, или 100%.

Размах могут принять за наибольшее значение или за разность соседних чисел. Такая ошибка возникает, если смотреть только на часть упорядоченного списка, а не на весь набор. Найди сначала максимум и минимум, затем вычти минимум из максимума. Размах не может быть отрицательным.

При вычислении среднего иногда повторяющиеся значения складывают только один раз. Возможно, ученик принимает одинаковые числа за один результат, хотя каждое из них — отдельное наблюдение. Сложи все исходные данные с учётом повторений и раздели сумму на число наблюдений. Полезная проверка: если все значения одинаковы, среднее должно равняться этому значению.

Связь с другими темами

Для работы со статистикой нужны навыки сложения и сравнения чисел, а также умение находить среднее арифметическое и переводить дроби в проценты. Эти действия позволяют вычислять частоты, относительные частоты и характеристики набора. Статистические таблицы и диаграммы пригодятся при изучении вероятности и анализе данных из реальных исследований. Такие инструменты помогают не просто читать числа, а сравнивать результаты и делать обоснованные выводы.

Что запомнить

• Частота показывает, сколько раз встретилось значение.
• Сумма частот равна числу наблюдений.
• Относительная частота равна частоте, делённой на число наблюдений.
• Сумма относительных частот равна 1, или 100%.
• Среднее арифметическое находят делением суммы всех наблюдений на их количество.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.