2.5. Решение квадратных неравенств графическим методом

Определения и обозначения

Квадратное неравенство — неравенство, в котором после переноса слагаемых одна из частей содержит квадратный трёхчлен. Например, x² − 4 > 0 — квадратное неравенство. Его удобно решать, когда выражение записано в виде ax² + bx + c, потому что тогда можно рассмотреть график одной функции.

Графический метод — способ решения неравенства сравнением графика квадратичной функции с осью Ox или с графиком другой части неравенства. В этой теме обычно сначала переносят все слагаемые в одну сторону и сравнивают функцию с нулём. Метод позволяет увидеть, на каких участках графика выполняется нужное условие.

Нуль квадратичной функции — значение x, при котором функция равна нулю; на графике это абсцисса точки пересечения параболы с осью Ox. Нули важны, потому что в этих точках функция может сменить знак. Они задают границы промежутков, которые нужно проверить.

Решение неравенства — множество всех значений переменной, при которых неравенство верно. Оно может состоять из одного или нескольких промежутков, отдельных точек либо быть пустым. Найти решение — значит точно указать все подходящие x, а не только отдельные примеры таких чисел.

Как это устроено

Сначала все слагаемые переносят в одну часть, чтобы получить сравнение квадратичной функции с нулём: ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0. Это нужно, чтобы свести задачу к одному вопросу: где значение функции положительно или отрицательно. При переносе слагаемого знак самого слагаемого меняется, но знак неравенства остаётся прежним.

Затем рассматривают график y = ax² + bx + c и находят его пересечения с осью Ox. В точках пересечения функция равна нулю, а между ними её знак не может измениться без нового прохождения через ось. Поэтому нули разбивают числовую прямую на участки, на каждом из которых достаточно определить знак функции один раз.

Если парабола пересекает ось в двух точках, обозначим их x₁ и x₂, где x₁ < x₂. При ветвях, направленных вверх, график находится ниже оси между корнями и выше — снаружи; при ветвях, направленных вниз, всё наоборот. Это следует из формы параболы: её середина лежит по одну сторону от оси, а удалённые участки ветвей — по другую.

Если парабола касается оси Ox, у функции один нуль, но знак по обе стороны от него не меняется: график лишь достигает оси и поворачивает обратно. При ветвях вверх значения функции неотрицательны, при ветвях вниз — неположительны. Если пересечений с осью нет, функция нигде не обращается в ноль, поэтому знак сохраняется на всей числовой прямой и определяется тем, выше или ниже оси расположена парабола.

Выбрав подходящие участки, учитывают знак неравенства. Для строгих знаков > и < нужны места, где график строго выше или ниже оси, поэтому точки пересечения исключают. Для ≥ и ≤ равенство допустимо, и подходящие нули включают в ответ вместе с участками.

Наконец, выбранные участки записывают как промежутки или системы неравенств. Например, две внешние части прямой можно записать как x < x₁ или x > x₂; для нестрогого условия границы добавляют с помощью знаков ≤ или ≥. Такая запись точно показывает, какие значения входят в решение.

Знак квадратичной функции и решение неравенства

Сначала найдите строку, подходящую к графику: число пересечений и направление ветвей определяют знак функции. Затем выберите столбец нужного неравенства. Для нестрогого знака проверьте, нужно ли включить нули в ответ.

Разбор задач

Пример 1. Решить неравенство x² − 4 > 0.

Нам нужно найти значения x, при которых график функции y = x² − 4 расположен выше оси Ox. Парабола имеет ветви вверх, поэтому после нахождения нулей можно определить знак внутри и снаружи них. Так как неравенство строгое, точки равенства с нулём не подойдут.

1. Рассматриваем функцию y = x² − 4 и находим нули: x² − 4 = 0, значит, x = −2 или x = 2.
2. Парабола направлена вверх. Между нулями она ниже оси, а снаружи выше неё.
3. Выбираем участки, где y > 0: x < −2 или x > 2. Числа −2 и 2 исключаем, поскольку в них выражение равно нулю.

Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; +∞).

Пример 2. Решить неравенство −x² + 3x + 4 ≥ 0.

Ищем участки, на которых график функции y = −x² + 3x + 4 лежит на оси Ox или выше неё. Коэффициент при x² отрицательный, поэтому ветви параболы направлены вниз. Значит, если парабола пересекает ось в двух точках, положительные значения будут между корнями.

1. Находим нули: −x² + 3x + 4 = 0. Умножаем уравнение на −1 и получаем x² − 3x − 4 = 0, откуда (x − 4)(x + 1) = 0. Нули: −1 и 4.
2. Ветви направлены вниз, поэтому между нулями функция положительна, а вне их отрицательна.
3. Знак ≥ включает значения, при которых функция равна нулю. Добавляем оба нуля к промежутку между ними.

Ответ: [−1; 4], или −1 ≤ x ≤ 4.

Пример 3. Решить неравенство 2x² + 4x + 5 < 0.

Здесь нужно выяснить, опускается ли парабола y = 2x² + 4x + 5 ниже оси Ox. Ветви направлены вверх, но одного этого недостаточно: парабола может пересекать ось, поэтому проверим нули. Если пересечений нет, весь график останется выше оси и отрицательных значений не будет.

1. Вычисляем дискриминант: D = 4² − 4 · 2 · 5 = 16 − 40 = −24. Он отрицателен, поэтому действительных нулей нет.
2. Парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви направлены вверх, график расположен выше оси; отрицательных значений функция не принимает.
3. Неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, но таких значений x нет.

Ответ: решений нет, ∅.

Типичные ошибки

После переноса слагаемых иногда меняют знак неравенства. Перенос меняет знак переносимого слагаемого, но не знак сравнения; он меняется только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Проверьте преобразование, отдельно проследив за каждым действием над обеими частями.

Можно правильно найти корни, но выбрать промежутки с неверным знаком, если не учесть направление ветвей. Например, при ветвях вверх значения между двумя корнями отрицательны, а снаружи положительны. Перед записью ответа отметьте, куда направлены ветви, или проверьте знак функции в одной точке выбранного промежутка.

Ещё одна ошибка — включать корни при строгом неравенстве или исключать их при нестрогом. В корнях функция равна нулю, поэтому знак > или < не допускает эти точки, а знак ≥ или ≤ может допускать. Подставьте корень в исходное неравенство: если получается равенство, включать его можно только при нестрогом знаке.

Не у каждой параболы два различных нуля: она может коснуться оси или не пересечь её вовсе. В этих случаях нельзя механически выбирать участок «между корнями» или «снаружи корней». Посмотрите на график и определите, есть ли точки пересечения; затем установите знак по расположению параболы относительно Ox.

Связь с другими темами

Для графического решения нужно уметь строить параболу, находить её нули и определять направление ветвей. Запись ответа опирается на навыки решения линейных неравенств и обозначения числовых промежутков. Квадратные неравенства применяют при исследовании функций, решении систем неравенств и задач, где на значения выражений наложены ограничения.

Что запомнить

• Сначала приведи неравенство к сравнению квадратичного трёхчлена с нулём.
• Нули функции — границы промежутков, на которых проверяют её знак.
• Знак функции определяют по расположению параболы относительно оси Ox.
• Для строгого неравенства точки пересечения с Ox не включают.
• Для нестрогого неравенства подходящие точки пересечения включают.
• Если парабола не пересекает ось Ox, знак функции определяется её расположением и направлением ветвей.