"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадратное неравенство сравнивает с нулём выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Чтобы решить его методом интервалов, находят нули квадратного трёхчлена и выясняют, где он положителен или отрицателен. Нули делят числовую прямую на промежутки, а знак на каждом промежутке можно определить по старшему коэффициенту или проверить подстановкой числа. Так получают все значения переменной, удовлетворяющие неравенству; при строгом знаке корни не включают, при нестрогом — включают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0, где a ≠ 0. Здесь x — переменная, а a, b и c — числа; коэффициент a не может быть нулём, иначе выражение перестанет быть квадратным. Такие неравенства помогают найти все значения переменной, при которых заданное выражение имеет нужный знак.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, знак которого исследуют при решении неравенства. В самом неравенстве он стоит слева, а справа обычно находится ноль. Выделять трёхчлен удобно, потому что именно его положительность, отрицательность или равенство нулю определяет подходящие значения x.
Нули квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. Это корни соответствующего квадратного уравнения, и в этих точках трёхчлен меняет возможный знак или касается нуля. Нули отмечают на числовой прямой: они служат границами промежутков, на которых проверяют знак выражения.
Метод интервалов — способ решения неравенства по знакам квадратного трёхчлена на промежутках, ограниченных его нулями. Сначала находят границы, затем выясняют, на каких частях числовой прямой выполняется нужное условие. В ответ записывают эти промежутки, отдельно учитывая, разрешено ли включать сами границы.
Сначала решают уравнение ax² + bx + c = 0, потому что знак выражения может измениться только там, где оно обращается в ноль. Найденные корни располагают по возрастанию и отмечают на прямой. Два различных корня x₁ и x₂ делят её на три части: левее x₁, между корнями и правее x₂. Если корень один или корней нет, число промежутков и ход решения будут другими.
На каждом промежутке, не содержащем нулей, знак трёхчлена сохраняется. Причина в том, что выражение ax² + bx + c непрерывно: при переходе от положительных значений к отрицательным оно должно пройти через ноль. Внутри промежутка нулей нет, поэтому перехода через ноль там произойти не может. Именно поэтому достаточно определить знак один раз для каждого промежутка.
При двух различных корнях знак зависит от старшего коэффициента a. Если a > 0, парабола направлена ветвями вверх: трёхчлен положителен за пределами корней и отрицателен между ними. Если a < 0, ветви направлены вниз, поэтому знаки меняются на противоположные: снаружи минус, между корнями плюс. На схеме знаков крайний участок начинают со знака a, а при переходе через каждый простой корень знак меняют.
Определить знак можно по схеме или с помощью контрольной точки. Для второго способа выбирают любое число из промежутка и подставляют его в ax² + bx + c: получившийся знак будет знаком всего этого промежутка. Не выбирайте сами корни, ведь в них значение выражения равно нулю. При двух различных корнях подстановка во все промежутки обычно не нужна: достаточно проверить один крайний знак и учесть чередование.
После определения знаков выбирают участки, на которых выполняется исходное условие. При строгих неравенствах > 0 и < 0 точки, где трёхчлен равен нулю, не подходят. При нестрогих ≥ 0 и ≤ 0 эти точки подходят и включаются в ответ, если корни существуют. Поэтому на числовой прямой их отмечают пустыми или закрашенными точками соответственно.
На графике парабола y = x² − 5x + 6 пересекает ось x при x = 2 и x = 3. Она находится выше оси вне этих точек и ниже оси между ними. Это наглядно показывает, почему для неравенства с положительным старшим коэффициентом положительные значения получаются снаружи корней.
| Вид неравенства | a > 0, корни x₁ < x₂ | a < 0, корни x₁ < x₂ |
|---|---|---|
| ax² + bx + c > 0 | x < x₁ или x > x₂ | x₁ < x < x₂ |
| ax² + bx + c ≥ 0 | x ≤ x₁ или x ≥ x₂ | x₁ ≤ x ≤ x₂ |
| ax² + bx + c < 0 | x₁ < x < x₂ | x < x₁ или x > x₂ |
| ax² + bx + c ≤ 0 | x₁ ≤ x ≤ x₂ | x ≤ x₁ или x ≥ x₂ |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите два различных корня и расположите их так, чтобы x₁ < x₂. Затем выберите столбец по знаку a и строку по виду неравенства. Запись «x < x₁ или x > x₂» означает два отдельных промежутка, а не один промежуток между корнями.
Ответ: x < 2 или x > 3.
Ответ: x ≤ −½ или x ≥ 2.
Ответ: решений нет, множество решений — ∅.
Можно механически начинать схему с плюса и получить неверные знаки при a < 0. Так происходит, если запоминают только пример с ветвями параболы вверх. Перед схемой проверьте знак старшего коэффициента: на крайних промежутках он совпадает со знаком a.
Другая ошибка — включить корни при строгом неравенстве или исключить их при нестрогом. Причина в том, что ученик смотрит на промежутки и забывает проверить равенство трёхчлена нулю в границах. Спросите себя, допускает ли знак равенство: при > и < корни исключаются, при ≥ и ≤ включаются.
Ошибочный ответ может появиться из-за неверно решённого квадратного уравнения. Тогда неверные корни становятся границами всех промежутков, хотя дальнейшая схема знаков может быть правильной. Проверьте вычисления дискриминанта и корней, а найденные значения подставьте в исходное уравнение: результат должен быть нулём.
Иногда два внешних промежутка записывают как один интервал, например от −∞ до ∞, теряя разрыв между корнями. Это случается, когда записывают только слова «вне корней», не следя за границами. В ответе используйте союз «или» и проверьте, что промежуток между корнями не попал в решение, если его знак не подходит.
Для решения методом интервалов понадобятся разложение квадратного трёхчлена на множители, решение квадратных уравнений и вычисление дискриминанта. Нужно также уметь отмечать числа на прямой и записывать промежутки с помощью неравенств. Если дискриминант отрицателен, знание его смысла позволяет сразу понять, что действительных нулей нет.
Метод применяют не только к отдельным квадратным неравенствам. Он помогает исследовать знаки выражений при упрощении формул, решать системы неравенств и учитывать ограничения на переменную в задачах. Умение аккуратно разделять прямую на промежутки пригодится и при работе с более сложными выражениями.
Почему недостаточно просто найти корни квадратного уравнения?
Корни показывают, где выражение равно нулю, но не указывают, где оно положительно или отрицательно. Для решения неравенства нужно определить знак трёхчлена на промежутках между корнями и за их пределами.
Как понять, с какого знака начинать схему интервалов?
Если есть два различных корня, на крайних промежутках знак совпадает со знаком старшего коэффициента a. Поэтому при a > 0 снаружи стоит плюс, а при a < 0 — минус; между корнями знак противоположный.
Нужно ли подставлять контрольную точку в каждый промежуток?
Не обязательно: при двух различных корнях знаки чередуются, а крайний знак задаёт коэффициент a. Контрольную точку удобно подставить, если вы сомневаетесь в схеме или хотите себя проверить.
Почему корни иногда входят в ответ, а иногда нет?
В корнях трёхчлен равен нулю. Строгие знаки > и < требуют значения строго больше или меньше нуля, поэтому корни исключают; знаки ≥ и ≤ допускают равенство нулю, поэтому корни включают.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Тогда квадратное уравнение не имеет действительных корней, и трёхчлен не обращается в ноль. Его знак всюду совпадает со знаком a: при a > 0 выражение положительно, при a < 0 — отрицательно.
2.6. Решение квадратных неравенств методом интервалов
