2.7. Решение рациональных неравенств методом интервалов

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — это неравенство, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями: многочленами, дробями или их комбинациями. Например, (x − 2)/(x + 1) > 0 — рациональное неравенство. При этом знаменатель дроби не может быть равен нулю, потому что деление на нуль не определено.

Метод интервалов — способ решения неравенств, при котором числовую прямую разбивают точками, где выражение обращается в нуль или не определено. Затем на каждом получившемся промежутке находят знак выражения. Такой способ особенно удобен для дробно-рациональных неравенств.

Критическая точка — значение переменной, при котором числитель или знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки отмечают на прямой, поскольку именно около них знак выражения может измениться или само выражение может перестать существовать. Они разделяют прямую на промежутки постоянного знака.

Кратность корня — число повторений соответствующего линейного множителя в разложении. Например, в (x − 1)² корень x = 1 имеет кратность 2, а в (x − 1)³ — кратность 3. При нечётной кратности знак меняется, а при чётной остаётся прежним.

Как это устроено

Сначала все слагаемые переносят в одну часть, чтобы получить неравенство вида F(x) > 0, F(x) < 0, F(x) ≥ 0 или F(x) ≤ 0. Затем дроби приводят к общему знаменателю и раскладывают числитель и знаменатель на множители. Такая форма нужна потому, что знак произведения или частного удобно определять по знакам отдельных множителей.

Знак дроби может измениться только около нуля числителя или знаменателя. При переходе через нуль числителя значение дроби может стать равным нулю, а при переходе через нуль знаменателя дробь перестаёт быть определённой. Поэтому именно эти значения отмечают на прямой, а не любые произвольные числа.

Найденные критические точки упорядочивают по возрастанию: например, a < b < c. Они разбивают прямую на промежутки (−∞; a), (a; b), (b; c) и (c; +∞). Внутри каждого такого промежутка множители не проходят через нуль, поэтому их знаки и знак всей дроби остаются постоянными.

Чтобы определить знак, можно взять любое пробное число из промежутка и подставить его в исходную дробь. Другой способ — выписать знаки всех множителей и учесть, что произведение положительно при чётном числе отрицательных множителей, а частное имеет знак «плюс», если числитель и знаменатель одного знака. После этого выбирают промежутки с нужным знаком.

Граничные точки включают по-разному. Нуль числителя включают при знаках ≥ или ≤, если знаменатель в этой точке не равен нулю, а при строгих знаках > или < не включают. Нуль знаменателя всегда выколот, потому что исходное выражение там не имеет значения.

Роль критических точек при решении рационального неравенства

Сначала используйте таблицу для классификации каждой отмеченной точки, а затем выберите нужные промежутки по знаку неравенства. Пустая точка на числовой прямой означает исключение, закрашенная — включение. Даже если знак на соседних промежутках одинаков, точку чётной кратности нельзя забывать: при нестрогом неравенстве она может входить в ответ.

Разбор задач

Задача 1

Решим неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0. Нужно найти значения, где числитель или знаменатель равны нулю, а затем оставить промежутки с положительным знаком.

1. Нуль числителя: x − 2 = 0, значит, x = 2. Нуль знаменателя: x + 1 = 0, значит, x = −1; это недопустимое значение.
2. Точки −1 и 2 делят прямую на три промежутка. На (−∞; −1) дробь положительна, на (−1; 2) отрицательна, на (2; +∞) положительна.
3. Знак строгий, поэтому x = 2 не включаем, а x = −1 исключаем в любом случае. Оставляем два промежутка, где дробь положительна.

Ответ: x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2

Решим неравенство (x + 3)(x − 1)/(x − 2) ≤ 0. Здесь два нуля числителя и один нуль знаменателя, поэтому особенно важно расположить их по порядку.

1. Критические точки: x = −3 и x = 1 — нули числителя, x = 2 — нуль знаменателя. Получаем порядок −3 < 1 < 2.
2. Знаки дроби на промежутках таковы: на (−∞; −3) знак «минус», на (−3; 1) «плюс», на (1; 2) «минус», на (2; +∞) «плюс». Это можно проверить подстановкой пробного числа в каждый промежуток.
3. Нужны отрицательные значения и нули. Поэтому −3 и 1 включаем, а 2 исключаем как нуль знаменателя.

Ответ: x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; 2).

Задача 3

Решим неравенство (x − 1)²(x + 2)/((x − 3)(x + 1)) ≥ 0. Квадратный множитель показывает, что корень x = 1 имеет чётную кратность и при переходе через него знак не меняется.

1. Критические точки: x = −2 и x = 1 — нули числителя, x = −1 и x = 3 — нули знаменателя. В порядке возрастания: −2, −1, 1, 3.
2. Знаки на промежутках: «плюс» на (−∞; −2), «минус» на (−2; −1), «плюс» на (−1; 1), «плюс» на (1; 3), «минус» на (3; +∞). На точке 1 знак по обе стороны одинаков, потому что множитель возведён в квадрат.
3. Для знака ≥ 0 берём положительные промежутки и нули числителя −2 и 1. Точки −1 и 3 исключаем, так как они обращают знаменатель в нуль.

Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ (−1; 3).

Типичные ошибки

Нуль знаменателя иногда включают в ответ, потому что подстановка в преобразованную дробь кажется удобной. Но исходное выражение в этой точке не определено. Проверьте себя: выпишите область допустимых значений и выколите все нули знаменателя.

Нуль числителя исключают даже при нестрогом знаке, путая его с нулём знаменателя. Если знаменатель в этой точке не равен нулю, дробь принимает значение 0. При знаках ≥ и ≤ такой нуль нужно включить.

Некоторые считают, что знак меняется около каждого критического корня. Это неверно для множителя чётной степени: например, (x − 1)² положителен по обе стороны от x = 1. Сравните кратности множителей и меняйте знак только при нечётной кратности.

Иногда знак определяют только по числителю или только по знаменателю. Знак дроби зависит от них обоих: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Для проверки составьте таблицу знаков всех множителей на выбранном промежутке.

Связь с другими темами

До изучения метода интервалов нужно уметь раскладывать многочлены на множители и находить корни линейных множителей. Также пригодятся навыки работы с числовой прямой и промежутками. Без этих умений трудно правильно найти критические точки и записать ответ.

Метод интервалов применяется не только к простым дробям, но и к дробно-рациональным неравенствам с многочленами более высоких степеней. Он помогает решать выражения, где корни нельзя удобно находить подбором одного пробного значения. В дальнейшем тот же принцип используется при исследовании знака произведений и частных.

Что запомнить

• Сначала перенесите все слагаемые в одну часть и получите сравнение дроби с нулём.
• Критические точки — нули числителя и знаменателя.
• Знаменатель не должен обращаться в нуль.
• На каждом промежутке между критическими точками знак выражения постоянен.
• При корне чётной кратности знак не меняется, при нечётной — меняется.
• Нули числителя включают при нестрогом неравенстве, если они входят в область определения.