2.8. Решение систем и совокупностей неравенств

Определения и обозначения

Система неравенств с одной переменной — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Иначе говоря, значение переменной должно пройти проверку по каждому условию. Такое описание нужно, когда задача задаёт сразу несколько ограничений на одну величину.

Решение системы — значение переменной, при котором истинны все неравенства системы. Множество решений системы является пересечением множеств решений отдельных неравенств, то есть общей частью их ответов. Поэтому найденное значение проверяют сразу во всех условиях, а не в одном из них.

Совокупность неравенств — несколько неравенств, из которых достаточно выполнить хотя бы одно. Её решением будут все значения, подходящие хотя бы к одному условию. Эта запись нужна, когда условие допускает разные варианты.

Слово «и» обозначает систему, а слово «или» — совокупность. При «и» значение должно подходить каждому неравенству, а при «или» достаточно соответствовать одному из них. Эти связки помогают понять, какие точки числовой прямой оставить в ответе.

Как это устроено

В системе берут пересечение промежутков, потому что каждое значение обязано удовлетворять всем неравенствам сразу. Представь, что одно условие допускает значения от 1 до 6, а другое — от 3 до 8: подойдут только значения, общие для обоих промежутков. Участки, которые разрешены лишь одним условием, системе не удовлетворяют. Так пересечение точно отражает смысл слова «и».

В совокупности находят объединение промежутков: достаточно выполнить хотя бы одно из условий. Если значение подходит первому неравенству, оно уже является решением совокупности, даже если второму не подходит. Поэтому в ответ включают точки из каждого промежутка, не отбрасывая их из-за другого условия. Именно это и означает объединение, или связка «или».

Сначала реши каждое неравенство отдельно: так проще не смешать разные условия и увидеть их собственные ответы. Затем изобрази полученные промежутки на одной числовой прямой. Для системы оставь их общую часть, а для совокупности — все участки, попавшие хотя бы в один промежуток. Такой порядок превращает задачу в понятную работу с множествами чисел.

Граница показывает, входит ли её значение в ответ, поэтому её отмечают по знаку неравенства. При строгих знаках < и > равенство граничному числу невозможно: точку выколачивают, а в записи интервала ставят круглую скобку. При нестрогих знаках ≤ и ≥ граница подходит: точку закрашивают и используют квадратную скобку. Это правило действует и при пересечении, и при объединении промежутков.

Ответ записывают интервалами, сохраняя включённость или невключённость каждого конца. При пересечении конец входит в ответ только тогда, когда он разрешён всеми соответствующими условиями; при объединении достаточно, чтобы его разрешало хотя бы одно из них. После записи подставь граничное значение в исходные неравенства: это помогает заметить лишнюю или потерянную точку. Если ни одно значение не удовлетворяет всем условиям системы, её решение — пустое множество.

Системы и совокупности неравенств

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить связку, а затем выбрать нужное действие с промежутками. Проверь отдельно граничные точки: сама операция над множествами не отменяет правила строгих и нестрогих знаков.

Разбор задач

Решите систему x > 1, x < 4.

В этой системе значение x должно быть одновременно больше 1 и меньше 4. Поэтому после решения обоих неравенств мы оставим только числа между этими границами. Обе границы исключаются, поскольку знаки строгие.

1. Из первого неравенства получаем x ∈ (1; +∞).
2. Из второго неравенства получаем x ∈ (−∞; 4).
3. Находим пересечение: общая часть этих промежутков — числа строго между 1 и 4.

Ответ: x ∈ (1; 4).

Решите совокупность x ≤ −2, x > 3.

Здесь достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно неравенство. Первое допускает числа не больше −2, второе — числа больше 3, и эти промежутки не пересекаются. Для совокупности это не мешает: оба набора значений входят в ответ.

1. Решаем первое неравенство: x ∈ (−∞; −2]. Квадратная скобка показывает, что −2 включено.
2. Решаем второе неравенство: x ∈ (3; +∞). Число 3 не включено из-за строгого знака.
3. Объединяем промежутки, так как достаточно попасть хотя бы в один из них.

Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ (3; +∞).

Решите систему 2x − 1 ≥ 3, x + 2 < 7.

Сначала выразим x в каждом условии, а затем сравним полученные промежутки. Так как это система, решение должно удовлетворять обоим ограничениям. Неравенство с нестрогим знаком может включить свою границу, но итог зависит также от второго условия.

1. Решаем первое неравенство: 2x − 1 ≥ 3, значит 2x ≥ 4 и x ≥ 2.
2. Решаем второе: x + 2 < 7, значит x < 5. Получаем промежутки [2; +∞) и (−∞; 5).
3. Находим пересечение: подходят числа от 2 включительно до 5 не включительно.

Ответ: x ∈ [2; 5).

Типичные ошибки

Для системы иногда берут объединение промежутков, потому что воспринимают список неравенств как несколько вариантов ответа. Но система требует выполнения всех условий, поэтому нужно пересечение. Проверь себя вопросом: подходит ли выбранное значение каждому неравенству?

Для совокупности могут ошибочно искать пересечение, будто значение обязано удовлетворять сразу всем условиям. Так теряются числа, которые подходят только одному из вариантов. Сверься со связкой: если достаточно хотя бы одного условия, объединяй промежутки.

Граничную точку иногда включают при строгом знаке или исключают при нестрогом. Ошибка появляется, когда знак неравенства не переносят в запись интервала и забывают про точку на прямой. Проверь: < и > дают невключённую границу, а ≤ и ≥ — включённую.

При пересечении или объединении можно потерять границу либо добавить лишние значения. Это случается, если смотреть только на рисунок, не сверяя его с исходными неравенствами. Для проверки подставь спорное граничное число в условия и установи, допускается ли оно нужной связкой.

Связь с другими темами

Чтобы решать системы и совокупности, нужно уметь решать линейные неравенства и изображать ответы на числовой прямой. Без этих навыков нельзя правильно получить отдельные промежутки, с которыми предстоит работать. Полезно также уверенно читать интервальную запись и отмечать её концы.

Тема продолжает работу с промежутками и множествами решений уравнений и неравенств. Здесь знакомые множества не просто записывают, а объединяют или находят их общую часть. Это помогает увидеть, как логические условия меняют множество подходящих значений.

Системы и совокупности пригодятся при решении более сложных неравенств и задач с несколькими условиями. Они позволяют разделить задачу на отдельные ограничения, а затем собрать общий ответ. Такой способ полезен везде, где нужно учесть несколько требований к одной переменной.

Что запомнить

• Система означает «и»: должны выполняться все неравенства.
• Решение системы — пересечение множеств решений.
• Совокупность означает «или»: достаточно выполнить одно неравенство.
• Решение совокупности — объединение множеств решений.
• Строгому неравенству соответствует невключённая граница.
• Нестрогому неравенству соответствует включённая граница.