"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Линейное уравнение с двумя неизвестными связывает значения x и y, а его решения — это пары чисел, превращающие равенство в верное. Каждой такой паре соответствует точка на координатной плоскости. Если отметить все точки-решения, получится график уравнения — прямая. Чтобы её построить, достаточно найти две различные пары решений, вычислить координаты точек и провести через них прямую. График помогает увидеть сразу все решения уравнения и пригодится при решении систем уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Буквы a и b показывают, на какие числа умножаются неизвестные, а c задаёт значение, которому равна сумма. Такой вид помогает отличить уравнение от выражения, в котором неизвестные стоят в более сложных степенях.
Решение уравнения с двумя неизвестными — пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Первое число пары относится к x, второе — к y, поэтому порядок записи важен. Чтобы проверить пару, нужно поставить её числа вместо соответствующих букв и выполнить вычисления.
График уравнения с двумя неизвестными — множество точек координатной плоскости, координаты каждой из которых являются решением этого уравнения. Иными словами, точка принадлежит графику, если её координаты подходят уравнению. Это определение позволяет перейти от вычислений с парами чисел к наглядному изображению всех решений.
Пара чисел (x; y) изображается точкой на координатной плоскости: первое число задаёт положение по горизонтали, а второе — по вертикали. Поэтому каждому решению уравнения соответствует точка, и наоборот — координаты точки можно проверить подстановкой. Например, для пары (2; 1) в уравнении 3x + y = 7 получаем 3 · 2 + 1 = 7, значит, это решение и точка лежит на графике.
Чтобы получить удобную формулу, одну неизвестную выражают через другую. Если коэффициент при y не равен нулю, из ax + by = c можно получить y = (c − ax) / b; если не равен нулю коэффициент при x, можно выразить x. Действия выполняют так, чтобы неизвестная осталась одна: слагаемое переносят через знак равенства с противоположным знаком, затем делят обе части на коэффициент.
Обычно уравнение имеет бесконечно много решений, потому что одно значение можно выбирать свободно. Например, задав x, мы вычисляем подходящее y по полученной формуле, и новая пара снова становится решением. Разные значения x обычно дают разные пары, поэтому перечислить все решения по одному нельзя; график показывает их вместе.
После выражения y через x получается формула y = kx + b, где k и b — числа. Именно зависимость такого вида задаёт прямую: при изменении x значение y меняется по одному и тому же правилу, поэтому точки не разбросаны по плоскости, а располагаются на одной линии. Каждая точка этой прямой соответствует решению исходного уравнения.
Для построения вычисляют координаты хотя бы двух решений, отмечают соответствующие точки и проводят через них прямую. Две различные точки определяют единственную прямую, поэтому дополнительных точек для её задания не требуется. Однако можно найти третье решение и проверить по нему построение: эта точка должна оказаться на той же прямой.
| Шаг | Что сделать | Зачем |
|---|---|---|
| Выразить одну неизвестную через другую | Преобразовать уравнение, например записать y через x | Чтобы удобно находить решения |
| Выбрать значения одной неизвестной | Взять несколько удобных значений x | Чтобы получить разные пары решений |
| Вычислить соответствующие значения второй неизвестной | Подставить выбранные значения в полученную формулу | Чтобы определить координату y |
| Записать пары решений и отметить их как точки | Расположить числа в порядке (x; y) и нанести точки на плоскость | Чтобы изобразить найденные решения |
| Провести через две различные точки прямую | Соединить точки линейкой и продолжить линию | Чтобы получить график уравнения |
Используй таблицу как порядок действий: сначала получи формулу, затем найди пары, а после перенеси их на координатную плоскость. Для точек особенно важно соблюдать порядок координат (x; y). Перед проведением прямой проверь, что обе выбранные пары действительно удовлетворяют исходному уравнению.
Нужно выяснить, превращает ли пара равенство в верное. Подставляем первое число вместо x, а второе — вместо y; переставлять числа местами нельзя. Если после вычислений левая часть равна правой, пара подходит.
Записываем подстановку: 3 · 2 + 1 = 7.
Вычисляем левую часть: 6 + 1 = 7.
Сравниваем стороны: получено верное равенство 7 = 7.
Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.
Сначала выразим y, чтобы каждой выбранной координате x соответствовало вычисление координаты y. Получаем y = 4 − 2x. Выберем простые значения x: 0, 1 и 2, а затем проверим найденные пары в исходном равенстве.
При x = 0: y = 4 − 2 · 0 = 4, получаем пару (0; 4).
При x = 1: y = 4 − 2 · 1 = 2, получаем пару (1; 2).
При x = 2: y = 4 − 2 · 2 = 0, получаем пару (2; 0).
Проверка, например, для (1; 2): 2 · 1 + 2 = 4. Ответ: три решения — (0; 4), (1; 2), (2; 0).
График состоит из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Для прямой достаточно двух различных решений, поэтому можно взять пары из предыдущего задания. Выберем (0; 4) и (2; 0): они различны и удобны для отметки на координатной плоскости.
Выражаем y: y = 4 − 2x.
Берём x = 0 и x = 2; получаем y = 4 и y = 0. Значит, точки графика — (0; 4) и (2; 0).
Проверяем подстановкой: 2 · 0 + 4 = 4 и 2 · 2 + 0 = 4.
Отмечаем обе точки и проводим через них прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому это и есть график уравнения.
Ответ: график — прямая через точки (0; 4) и (2; 0).
Некоторые считают решением одно значение переменной, например x = 2. Но уравнение содержит две неизвестные, поэтому решение — пара чисел, а не отдельное число. Чтобы проверить себя, запиши оба значения в форме (x; y) и подставь их в уравнение.
При подстановке можно перепутать координаты: поставить первое число вместо y, а второе вместо x. Такая ошибка возникает, если забыть, что запись пары всегда начинается с x. Перед вычислением подпиши координаты и проверь результат подстановкой.
При выражении неизвестной иногда неверно переносят слагаемое через знак равенства. Знак меняется на противоположный, потому что при переносе выполняется противоположное действие с обеими частями уравнения. Проверь преобразование обратной подстановкой: полученная формула должна давать равенство исходного уравнения.
Если одна из выбранных точек не является решением, проведённая через неё прямая не будет графиком уравнения. Ошибка может появиться при вычислении или при записи пары. Подставь координаты каждой точки в исходное уравнение: обе стороны должны совпасть.
Для построения графика нужны знания о координатной плоскости и координатах точек: они помогают правильно отметить каждую пару чисел. Также пригодятся преобразования уравнений — перенос слагаемых и деление обеих частей на число. Без этих умений трудно выразить одну неизвестную через другую и получить значения для построения.
Графики линейных уравнений понадобятся при изучении систем линейных уравнений. Каждое уравнение системы задаёт свою прямую, а общие решения соответствуют точкам, лежащим на обеих прямых. Поэтому решение системы можно искать по точке пересечения графиков.
Что считается решением уравнения с двумя неизвестными?
Решением считается пара чисел (x; y), которая при подстановке вместо неизвестных превращает уравнение в верное равенство. Первое число пары относится к x, второе — к y.
Почему у такого уравнения может быть бесконечно много решений?
Если выразить y через x, то для каждого выбранного значения x можно вычислить соответствующее значение y. Значений x бесконечно много, поэтому обычно получается бесконечно много пар решений.
Как проверить, лежит ли точка на графике уравнения?
Подставь координаты точки вместо неизвестных в уравнение: сначала координату x, затем y. Если равенство верное, точка лежит на графике; если неверное — не лежит.
Почему график линейного уравнения — прямая?
Если выразить одну неизвестную через другую, уравнение принимает вид y = kx + b. Это уравнение прямой: при изменении x значения y меняются так, что соответствующие точки располагаются на одной прямой.
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно найти две различные точки графика и провести через них прямую. Чтобы быть уверенным в построении, сначала проверь, что координаты каждой точки удовлетворяют исходному уравнению.
5.2. График линейного уравнения с двумя неизвестными
