5.3. Система уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения систем

Определения и обозначения

Уравнение с двумя неизвестными — это равенство, в котором есть две переменные, например x и y. Его решение — пара чисел (x; y), при подстановке которой равенство становится верным. Такие пары удобно изображать точками на координатной плоскости: первое число задаёт положение по горизонтали, второе — по вертикали.

Система уравнений — это несколько уравнений, объединённых фигурной скобкой и решаемых одновременно. Решение системы — пара значений неизвестных, которая подходит каждому уравнению системы. Это определение помогает не спутать решение одного уравнения с ответом: значение должно удовлетворять всем условиям сразу.

Графический метод — способ решения системы, при котором строят график каждого уравнения и находят их общие точки. График показывает все пары чисел, подходящие одному уравнению, а пересечение графиков — пары, подходящие обоим. Координаты такой точки записывают в виде (x; y).

Как это устроено

У одного уравнения с двумя неизвестными обычно много решений: если выбрать значение x, можно найти подходящее y, а затем получить новую пару. Каждую такую пару изображает точка, поэтому все решения вместе образуют график уравнения. Например, уравнению y = x + 1 подходят пары (0; 1), (1; 2) и (2; 3); на координатной плоскости они лежат на одной прямой.

В системе нужно подобрать не просто точку на одном графике, а точку, принадлежащую графикам всех уравнений. Поэтому графики строят на одной координатной плоскости: тогда их общие точки сразу видны. Если две прямые пересекаются, координаты места пересечения удовлетворяют обоим уравнениям, так как точка лежит на каждой прямой.

Две непараллельные прямые пересекаются в одной точке, поэтому такая система имеет одно решение. Параллельные прямые не имеют общих точек, значит, подходящей пары чисел нет. Если прямые совпадают, каждая их точка общая, поэтому решений бесконечно много; это происходит, когда уравнения описывают одну и ту же прямую.

Чтобы построить прямую, удобно выразить y через x и выбрать несколько значений x. Для каждого значения вычисляют y, получают координаты точки и отмечают её на плоскости. Две точки уже задают прямую, но третья помогает заметить ошибку в вычислениях или построении.

По чертежу координаты пересечения иногда определяются лишь приблизительно: толщина линий и неточность построения влияют на результат. Поэтому после чтения координат нужно подставить их в оба исходных уравнения. Если равенства верны, пара действительно является решением; если нет, следует проверить вычисления и график.

Как связаны графики и число решений

Сначала определите, как расположены графики, а затем найдите их общие точки. Для прямых число общих точек сразу показывает, сколько решений имеет система. Полученные координаты всё равно полезно проверить подстановкой.

Разбор задач

Решим графически систему y = 5 − 2x и y = x − 1. Нужно найти пару чисел, при которой оба равенства верны. Оба уравнения уже записаны так, что y выражена через x, поэтому можно сразу составить таблицы значений и построить прямые.

1. Для первого уравнения выберем x = 0 и x = 2. При x = 0 получаем y = 5, а при x = 2 получаем y = 1, поэтому отмечаем точки (0; 5) и (2; 1).
2. Для второго уравнения возьмём x = 0 и x = 2. Тогда y = −1 и y = 1, то есть отмечаем точки (0; −1) и (2; 1). В каждой паре первое число — координата по горизонтали, второе — по вертикали.
3. Проведём через точки каждого уравнения свою прямую. Их пересечение находится в точке (2; 1), поэтому предполагаем, что x = 2, y = 1.
4. Проверим найденную пару в первом уравнении: 1 = 5 − 2 · 2, то есть 1 = 1. Проверим во втором: 1 = 2 − 1, равенство тоже верно.

Проверка показывает, что координаты точки пересечения подходят обоим уравнениям. Значит, система имеет решение (2; 1). Если бы точка пересечения на рисунке имела неудобные или неясные координаты, одного чтения графика было бы недостаточно: понадобилась бы дополнительная проверка или вычисление.

Типичные ошибки

Ошибка: принять решение одного уравнения за решение системы. Ученик находит точку на одном графике и останавливается, потому что забывает про второе условие. Проверяйте, лежит ли выбранная точка на каждом графике; координаты должны удовлетворять всем уравнениям.

Ошибка: перепутать координаты точки. При записи пары (x; y) числа ставят не в произвольном порядке: сначала указывают горизонтальную, затем вертикальную координату. Такая путаница возникает, когда на рисунке читают значения не по тем осям; проверка подстановкой обнаружит её.

Ошибка: считать приблизительный рисунок точным доказательством. Неточно построенные прямые могут пересечься не в той точке или выглядеть пересекающимися, хотя они параллельны. Стройте каждую прямую по нескольким рассчитанным точкам и обязательно подставляйте предполагаемый ответ в уравнения.

Связь с другими темами

Для графического решения нужны координатная плоскость и умение отмечать точки по их координатам. Чтобы построить графики, приходится подставлять выбранные значения x в уравнения и вычислять y, то есть использовать действия с числами и буквенными выражениями. Графики линейных уравнений являются прямыми, поэтому полезны знания о прямой и её расположении на плоскости. Позже системы уравнений можно будет решать вычислениями, а график останется способом увидеть и проверить результат.

Что запомнить

• Решение системы — одна и та же пара чисел, подходящая каждому уравнению.
• При графическом методе строят графики всех уравнений на одной координатной плоскости.
• Общие точки графиков дают решения системы; у пересекающихся прямых решение одно.
• Параллельные прямые не дают решений, а совпадающие — бесконечно много.
• Координаты точки пересечения нужно записывать в порядке (x; y) и проверять подстановкой.