"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Метод сложения помогает найти пару чисел, которая одновременно подходит к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна переменная исчезла, а затем находят оставшуюся и подставляют её значение обратно. Если коэффициенты не подходят, уравнения можно предварительно умножить на ненулевые числа. Главное — выполнять преобразования со всеми слагаемыми и проверять полученную пару в обоих уравнениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, в которых переменные обычно обозначают x и y, а их степени не выше первой. Решить систему — значит найти все пары значений переменных, которые подходят к обоим уравнениям одновременно. Ответ записывают парой чисел, например (2; 5), где первое число — значение x, второе — значение y. Понимание этого помогает не принять решение только одного уравнения за ответ всей системы.
Метод сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну из переменных. После этого остаётся уравнение с одной переменной, которое решить проще. Найденное значение подставляют в исходное уравнение, чтобы найти вторую переменную. Метод особенно удобен, когда коэффициенты уже подходят для сложения или вычитания.
Равносильные системы — системы, у которых совпадают все решения. Если умножить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, равенство сохранится, а его решения не изменятся: из верного равенства получается верное, и обратное преобразование тоже возможно делением на это число. Поэтому такое умножение можно использовать, чтобы изменить коэффициенты и сохранить ответы системы. Нулём уравнение умножать нельзя: тогда получится равенство 0 = 0, которое уже не содержит прежней информации.
Коэффициент при переменной — число, на которое умножена эта переменная: например, в выражении 4x коэффициент при x равен 4, а в −y он равен −1. Сравнивая коэффициенты в двух уравнениях, можно понять, какую переменную проще исключить. Если они противоположны или одинаковы, достаточно сложения или вычитания; если нет — коэффициенты сначала меняют умножением уравнений. Это помогает заранее выбрать удобные действия.
Когда коэффициенты при одной переменной противоположны, её слагаемые взаимно уничтожаются при сложении. Например, 3y и −3y в сумме дают ноль, поэтому после сложения остаётся уравнение только с x. Сложение выполняют для обеих частей уравнений: если слева стоят равные выражения и справа стоят равные числа, сумма левых частей равна сумме правых. Полученное уравнение с одной переменной можно решить обычными известными правилами.
Если коэффициенты при выбранной переменной одинаковы, удобно вычесть одно уравнение из другого. Так, одинаковые слагаемые 5x и 5x при вычитании дают ноль. Вычитание тоже должно затрагивать обе части равенств: из левой части одного уравнения вычитают левую часть другого, а из правой — правую. Следи за знаками: если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых внутри при раскрытии меняются.
Иногда коэффициенты при выбранной переменной различны и не противоположны. Тогда умножают одно или оба уравнения на ненулевые числа, чтобы получить подходящую пару коэффициентов. Например, коэффициенты 2 и −3 можно превратить в 6 и −6: первое уравнение умножить на 3, второе — на 2. После сложения слагаемые с выбранной переменной исчезнут, а множество решений останется прежним, потому что умножение уравнений было обратимым.
Когда одна переменная найдена, её значение подставляют в любое из исходных уравнений. Выбирай то, где вычисления проще: например, меньше слагаемых или удобнее коэффициенты. Подстановка превращает исходное уравнение в уравнение с одной неизвестной, из которого находится вторая переменная. Так получается кандидат на решение — пара значений, а не только отдельное число.
В конце подставь полученную пару в оба исходных уравнения. Если каждое равенство верно, пара действительно является решением системы; если хотя бы одно неверно, нужно найти ошибку в преобразованиях или вычислениях. Такой контроль важен, потому что арифметическая ошибка может появиться даже при верно выбранном способе. На каждом шаге следи, чтобы преобразования сохраняли множество решений системы.
| Коэффициенты при выбранной переменной | Действие с уравнениями | Что происходит |
|---|---|---|
| Противоположные числа | Сложить уравнения | Переменная исключается |
| Одинаковые числа | Вычесть одно уравнение из другого | Переменная исключается |
| Коэффициенты различны и не противоположны | Умножить одно или оба уравнения на подходящие числа, затем сложить или вычесть | Коэффициенты становятся противоположными или одинаковыми |
Сначала выбери переменную, коэффициенты при которой проще всего сделать одинаковыми или противоположными. Затем выполни указанное действие с уравнениями целиком, а не только с коэффициентами. Если после преобразования переменная не исчезла, проверь знаки и множители.
Решить систему: x + y = 7; x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, значит, при сложении эта переменная исчезнет. После этого останется уравнение только с x.
Ответ: (4; 3). Подстановка в исходные равенства даёт 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1, поэтому пара подходит обоим уравнениям.
Решить систему: 2x + 3y = 13; 4x − 3y = 5. У коэффициентов при y противоположные знаки и одинаковые значения, поэтому сложение исключит y без дополнительных преобразований. Остаётся найти x, а затем подстановкой определить y.
Ответ: (3; 7/3). Проверка во втором уравнении: 4 · 3 − 3 · 7/3 = 12 − 7 = 5; первое уравнение также выполняется: 6 + 7 = 13.
Решить систему: 3x + 2y = 16; 5x − 3y = 1. Коэффициенты при y равны 2 и −3, поэтому сначала превратим их в противоположные числа. Наименьшее удобное общее значение по модулю — 6, для этого первое уравнение умножим на 3, а второе на 2.
Ответ: (50/19; 77/19). В первом уравнении получается 150/19 + 154/19 = 304/19 = 16, во втором — 250/19 − 231/19 = 1. Оба равенства верны, значит, решение проверено.
Первая ошибка — складывать или вычитать только коэффициенты, забывая про остальные слагаемые и правые части. Так делают, когда сосредотачиваются на переменной, которую нужно убрать, но получают уравнение, не равносильное исходным. Записывай действие над каждой частью уравнений и проверь, что сложены или вычтены все члены.
При умножении уравнения иногда умножают только коэффициент при выбранной переменной, а остальные слагаемые оставляют прежними. Причина — желание изменить лишь один коэффициент, но такое действие меняет само равенство неправильно. Распредели множитель по каждому члену обеих частей, а затем проверь, что правая часть тоже умножена.
После исключения переменной некоторые останавливаются и записывают только найденное число. Но система требует пару, поэтому подставь это число в исходное уравнение и реши его относительно второй переменной. Проверь, что в ответе указаны оба значения и порядок пары понятен: сначала x, затем y.
Ещё одна ошибка — не проверять ответ или подставлять его только в одно уравнение. Одно равенство может выполняться случайно, хотя второе нарушено, либо в вычислениях могла остаться незамеченная ошибка. Подставь оба значения в каждое исходное уравнение и отдельно убедись, что левая и правая части совпали.
Для метода сложения нужны навыки решения линейных уравнений, раскрытия скобок и действий с отрицательными числами: без них легко ошибиться при преобразованиях. Метод пригодится при решении систем, выборе удобного способа и составлении систем по условиям задач. Он связан с методом подстановки: оба способа решают системы, но сложение особенно удобно, когда коэффициенты легко сделать противоположными.
Почему при сложении уравнений одна из переменных исчезает?
Если коэффициенты при переменной противоположны, например 3 и −3, то при сложении получается 3x + (−3x) = 0. Поэтому слагаемые с этой переменной сокращаются, и остаётся уравнение с другой переменной.
Что делать, если коэффициенты при переменной не равны и не противоположны?
Умножь одно или оба уравнения на такие ненулевые числа, чтобы коэффициенты стали противоположными или равными. Затем сложи или вычти уравнения, чтобы исключить переменную.
Можно ли умножать только одно уравнение системы?
Да, если этого достаточно для получения подходящих коэффициентов. При умножении нужно умножить на выбранное число обе части уравнения и каждое слагаемое.
Как понять, какое уравнение вычитать из другого?
Если коэффициенты при выбранной переменной одинаковы, вычитание исключит её в любом порядке. Выбирай порядок, при котором вычисления проще, и не забывай вычитать все слагаемые второго уравнения.
Обязательно ли проверять ответ подстановкой в оба уравнения?
Да, так можно заметить ошибку в вычислениях или подстановке. Верная пара должна превращать в равенства оба исходных уравнения.
5.5. Метод сложения
