"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Система уравнений помогает решить задачу, если две неизвестные величины связаны сразу несколькими условиями. Каждую величину обозначают переменной, а каждое условие переводят в уравнение. Затем уравнения решают одновременно и выясняют, подходят ли полученные значения по смыслу задачи. Главное — не просто найти пару чисел, а точно составить математическую модель и проверить ответ в исходном условии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью переменных и уравнений. Она заменяет словесное описание точными математическими соотношениями, с которыми можно выполнять вычисления. Например, слова «сумма чисел равна 26» можно записать как x + y = 26. Такая запись помогает не потерять связь между величинами.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же переменными, которые должны выполняться одновременно. Например, если заданы сумма и разность двух чисел, нужны два уравнения с переменными x и y. Система объединяет эти условия в одну модель. Она нужна, чтобы искать значения, подходящие сразу ко всем сведениям задачи.
Решение системы уравнений — значения переменных, при которых верны все уравнения системы. Если x и y обозначают искомые числа, решение системы даёт их возможные значения. Но сначала это лишь ответ математической модели. Нужно ещё проверить, соответствуют ли значения смыслу задачи.
Решить задачу с помощью системы уравнений — значит выбрать переменные, составить по условию систему, найти её решение и проверить, отвечает ли оно задаче. Переменные обычно обозначают буквами x и y, но можно выбрать и другие буквы. Важно сразу пояснить, какую величину обозначает каждая из них. Тогда найденные числа легко соотнести с вопросом задачи.
В текстовой задаче часто неизвестны две величины, но они связаны между собой. Удобно обозначить их переменными, потому что одна буква может представлять неизвестное число во всех частях условия. Например, можно назвать x и y цены двух товаров или скорости двух велосипедистов. Пояснение переменных не даёт перепутать величины и помогает потом правильно записать ответ.
Чтобы получить уравнения, найди в условии отдельные связи между неизвестными и другими числами. Каждую такую связь переведи на язык действий и равенств: сумма превращается в сложение, разность — в вычитание, а общий путь — в выражение для расстояния. Например, если сумма двух чисел равна 26, получится x + y = 26. Если известно также, что первое число на 8 больше второго, это даст второе уравнение x − y = 8.
Система собирает уравнения, потому что все условия относятся к одной задаче и должны быть верны для одной и той же пары значений. Пара, которая подходит только к первому уравнению, может нарушать второе и потому не отвечает условию целиком. Решением системы будет только пара, удовлетворяющая обоим равенствам сразу. Так математическая модель сохраняет связь между всеми известными фактами задачи.
После составления системы выбери подходящий способ решения, который уже изучен: например, подстановку или сложение уравнений. Полученные значения нужно связать с исходными величинами, а не оставлять просто как x и y. Если переменная обозначает скорость первого велосипедиста, её найденное значение и будет этой скоростью. Такой переход от вычислений к смыслу задачи нужен, чтобы правильно сформулировать ответ.
Проверка состоит из двух частей, потому что возможны разные ошибки. Подстановка найденных значений в каждое уравнение подтверждает, что система решена верно. Затем нужно вернуться к исходному условию: проверить единицы, смысл величин и все данные задачи. Это выявляет как неподходящие ответы, так и ошибки, допущенные при переводе слов в уравнения.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор переменных | Обозначить неизвестные величины и пояснить обозначения. | Переменные соответствуют вопросу задачи. |
| Составление уравнений | Записать каждую заданную связь равенством. | Учтены все условия и верно выбраны действия. |
| Решение системы | Найти значения переменных выбранным способом. | Пара удовлетворяет каждому уравнению. |
| Проверка и ответ | Сверить значения с исходным условием и записать ответ. | Ответ допустим по смыслу и отвечает на вопрос. |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: не переходи к решению, пока не понятно, что обозначают переменные и откуда взялось каждое уравнение. После вычислений проверь и сами равенства, и смысл полученных величин. В ответе укажи, что именно найдено, а не только значения переменных.
Сумма двух чисел равна 26, а их разность — 8. Обозначим первое число через x, второе — через y. Тогда сумма записывается как x + y = 26, а разность первого и второго — как x − y = 8. Получаем систему, в которой оба условия должны быть выполнены одновременно.
Ответ: 17 и 9.
За 3 тетради и 2 ручки заплатили 180 рублей, а за 2 тетради и 3 ручки — 170 рублей. Пусть x рублей стоит тетрадь, а y рублей — ручка. Стоимость покупки равна сумме произведений количества каждого товара на его цену. Поэтому две покупки образуют два уравнения.
Ответ: тетрадь стоит 40 рублей, ручка — 30 рублей.
Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта в противоположных направлениях. Через 2 часа расстояние между ними стало 54 км, а скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Обозначим скорость более медленного через x км/ч, а более быстрого — через y км/ч. За 2 часа они проедут 2x и 2y километров; поскольку направления противоположные, расстояние между ними равно сумме этих путей.
Ответ: скорости велосипедистов — 12 км/ч и 15 км/ч.
Не пояснить переменные. Если написать только x и y, легко забыть, какая буква обозначает цену, число или скорость, и перепутать их в ответе. Так происходит, когда ученик торопится перейти к вычислениям. Запиши рядом с каждой переменной её значение и единицу измерения, а в конце проверь, что ответ отвечает вопросу.
Перевести в уравнения только часть условия. Тогда система не отражает все связи, и найденные значения могут подходить лишь к одному из данных. Часто одно условие пропускают, потому что оно записано отдельной фразой. Перед решением отметь, какое уравнение соответствует каждому условию, и проверь, что ни одно не осталось без записи.
Считать ответом любую пару из системы. Решение может противоречить смыслу задачи: например, цена, длина или время не должны быть отрицательными. Ошибка возникает, если считать вычисления достаточными и не думать о величинах. Проверь допустимость значений и то, соответствуют ли они обозначениям.
Не проверять ответ в исходном условии. Подстановка в уравнения подтверждает решение системы, но не показывает, правильно ли сами уравнения составлены. При неверном переводе условия в модель вычисления могут быть безошибочными, а ответ — неподходящим. Подставь найденные значения в каждую фразу задачи и заново проверь все данные.
Для решения таких задач нужно уметь обозначать неизвестные переменными, составлять линейные уравнения по условию и решать системы двух линейных уравнений. Эти навыки связывают работу с уравнениями с обычными ситуациями: задачами на числа, покупки и движение. Дальше построение математической модели поможет разбирать более сложные задачи и сравнивать способы решения. Чем точнее записаны условия, тем легче проверить результат.
Как понять, какие величины обозначить переменными?
Выбери неизвестные величины, которые требуется найти и которые связаны условиями задачи. Например, в задаче о покупке удобно обозначить цену тетради и цену ручки. Запиши рядом, что означает каждая переменная.
Почему для задачи нужны именно два уравнения?
Если неизвестны две величины, обычно нужны две независимые связи между ними, чтобы определить обе. Каждое уравнение записывает отдельное условие задачи. Иногда уравнений может быть больше, но в приведённых примерах достаточно двух.
Как перевести словесное условие в уравнения?
Сначала обозначь неизвестные и выпиши, какие отношения между ними даны. Затем замени слова математическими действиями: сумму — сложением, разность — вычитанием, стоимость покупки — умножением цены на количество. Проверь, что каждое уравнение соответствует конкретной части условия.
Что делать, если решение системы не подходит по смыслу задачи?
Проверь вычисления и то, как ты составил уравнения. Если всё записано верно, но значения недопустимы, например цена получилась отрицательной, такая пара не является ответом задачи. Ответ должен удовлетворять и системе, и смыслу условия.
Зачем проверять ответ в исходном условии, если система уже решена?
Решение системы подтверждает, что найденная пара подходит к записанным уравнениям, но сами уравнения могли быть составлены неверно. Подстановка значений в первоначальное условие помогает обнаружить такую ошибку. Заодно проверяется, допустимы ли числа по смыслу задачи.
5.6. Решение задач с помощью систем уравнений
