§ 11. Неравенства с одной переменной и их системы

Определения и обозначения

Неравенством с одной переменной называют запись, в которой две числовые или содержащие переменную части сравнивают знаками <, >, ≤ или ≥. Например, 3x − 1 < 8 — неравенство с переменной x. Оно нужно, чтобы описывать условие, которому должны удовлетворять значения переменной, а не искать только одно число.

Решением неравенства называют значение переменной, при котором из него получается верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения, а не просто проверить одно значение. Например, для x > 2 подходят 3 и 10, но не подходят 2 и 0.

Множество решений часто записывают числовым промежутком. В записи (2; 5] число 2 не входит в промежуток, а число 5 входит; круглая скобка соответствует строгому условию, квадратная — нестрогому. Такая запись помогает компактно представить сразу все подходящие числа.

Системой неравенств называют несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — число, подходящее каждому неравенству; иначе говоря, это общая часть их множеств решений. Система нужна, когда на значение переменной наложено сразу несколько ограничений.

Как это устроено

Главная цель преобразований — оставить переменную в одной части неравенства, а числа — в другой. Можно прибавлять к обеим частям одно и то же число или вычитать его: порядок сравниваемых величин от этого не меняется. Например, из x + 4 < 9 получаем x < 5, вычитая 4 из обеих частей.

При умножении или делении на положительное число знак тоже сохраняется, потому что порядок чисел остаётся прежним. Если же умножить или разделить обе части на отрицательное число, порядок меняется на обратный: из 2 < 6 следует −2 > −6. Поэтому при делении на отрицательный коэффициент знак неравенства обязательно переворачивают.

В линейном неравенстве переменная обычно встречается в выражениях вида ax + b, где a и b — числа. Сначала раскрывают скобки, если они есть, и приводят подобные слагаемые, чтобы собрать все слагаемые с x в одной части. После этого выделяют x, внимательно следя за знаком числа, на которое делят.

Полученное условие можно изобразить на числовой прямой. Для строгого знака на границе ставят пустую точку, потому что граничное число не подходит; для нестрогого — закрашенную. Стрелка показывает, в какую сторону лежат решения: например, x > 3 означает все числа правее 3, кроме самой границы.

В системе каждое неравенство сначала решают отдельно, поскольку так виден вклад каждого условия. Затем находят пересечение ответов: оставляют только числа, принадлежащие всем промежуткам сразу. Если промежутки не имеют общих точек, система решений не имеет.

Правила преобразования неравенств

Пользуйся таблицей, когда выполняешь действие с обеими частями неравенства: сначала определи, положительное число или отрицательное. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняют, потому что фактически к обеим частям прибавляют противоположное число. Последний пример показывает, что при делении на −3 знак ≤ превращается в ≥.

Разбор задач

Решим систему: 2x − 3 > 5 и 4 − x ≥ −2. Нужно найти значения x, которые подходят сразу к обоим условиям. Поэтому сначала преобразуем каждое неравенство по отдельности, а уже потом сравним ответы.

1. Решим первое неравенство: 2x − 3 > 5. Прибавим 3 к обеим частям и получим 2x > 8. Разделим на 2; число положительное, значит знак остаётся прежним: x > 4.

2. Решим второе неравенство: 4 − x ≥ −2. Вычтем 4 из обеих частей: −x ≥ −6. Теперь разделим обе части на −1 и поменяем знак на противоположный: x ≤ 6.

3. Объединим условия. Первое разрешает все числа больше 4, второе — все числа, не превосходящие 6. Одновременно подходят числа строго больше 4 и не больше 6, поэтому общая часть промежутков — (4; 6].

4. Проверим границы. При x = 4 первое неравенство превращается в 5 > 5, что неверно, поэтому 4 исключаем. При x = 6 оба условия верны, значит 6 включаем в ответ.

Ответ: x ∈ (4; 6]. Здесь запись x ∈ (4; 6] означает, что x принадлежит этому промежутку. Проверка границ особенно полезна, когда в ответе системы одна граница открытая, а другая закрытая.

Типичные ошибки

• Не меняют знак при делении на отрицательное число. Обычно ошибку допускают, потому что переносят правило для положительного делителя на любой случай. Проверь себя на простом примере: из 2 < 5 после умножения на −1 должно получиться −2 > −5.

• Путают строгий и нестрогий знак при записи ответа. При знаках < и > граница не входит, а при ≤ и ≥ входит; на числовой прямой это пустая и закрашенная точки соответственно. Подставь граничное число в исходное неравенство: если оно подходит, границу нужно включить.

• Для системы берут объединение промежутков вместо пересечения. Так бывает, когда забывают, что должны выполниться все условия сразу. Проверь ответ подстановкой: каждое число из решения системы обязано удовлетворять каждому исходному неравенству.

• Теряют знак слагаемого при переносе. Перенос означает прибавление противоположного числа к обеим частям, поэтому знак слагаемого меняется. Чтобы проверить преобразование, выполни действие с обеими частями явно, не полагаясь на память.

Связь с другими темами

Решение линейных неравенств опирается на умение раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и решать уравнения: эти действия помогают выделить переменную. Числовые промежутки и координатная прямая дают наглядный способ записать множество ответов. Системы неравенств связаны с системами уравнений тем, что в обоих случаях ищут значения, удовлетворяющие нескольким условиям одновременно, но здесь общую часть находят для промежутков.

Что запомнить

• Решение неравенства — любое значение переменной, при котором оно верно; ответ включает все такие значения.
• При сложении, вычитании и умножении или делении на положительное число знак сохраняется.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Решение системы — пересечение решений всех неравенств системы.
• Круглая скобка исключает границу промежутка, квадратная включает её; бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.