32. Пересечение и объединение множеств

Определения и обозначения

Пересечение множеств A и B — множество элементов, которые принадлежат одновременно и A, и B. Его обозначают A ∩ B. Чтобы найти пересечение, достаточно проверить, какие элементы встретились в обоих множествах: в результат попадут только они.

Объединение множеств A и B — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B. Обозначение объединения — A ∪ B. Оно позволяет собрать в один набор все элементы обоих множеств, не записывая один и тот же элемент несколько раз.

Принадлежность пересечению означает выполнение двух условий сразу: x ∈ A ∩ B тогда и только тогда, когда x ∈ A и x ∈ B. Например, число войдёт в пересечение множеств натуральных чисел и чётных чисел, если оно одновременно натуральное и чётное. Такая запись помогает точно определить, какие элементы подходят.

Принадлежность объединению означает, что выполняется хотя бы одно условие: x ∈ A ∪ B тогда и только тогда, когда x ∈ A или x ∈ B. Элемент может принадлежать только A, только B или сразу обоим множествам. Это определение нужно, чтобы понимать «или» включительно: общий элемент тоже входит в объединение.

Как это устроено

Возьмём множества A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}. Для пересечения сравниваем элементы: 1 и 2 есть только в A, 5 — только в B, а 3 и 4 встречаются в обоих наборах. Поэтому A ∩ B = {3, 4}. Такой поиск общих элементов работает и с предметами: если A — список учеников, посещающих математику, а B — список учеников, посещающих информатику, пересечение покажет тех, кто ходит на оба кружка.

При объединении нужно пройти по элементам обоих множеств и собрать их в один набор. В примере объединение — {1, 2, 3, 4, 5}: элементы 1, 2 и 5 добавляются по одному разу, а 3 и 4, хотя встречаются в обоих списках, записываются только один раз. Повтор не создаёт нового элемента множества, поэтому его удаляют при записи результата. Этот способ удобен, когда нужно перечислить все возможные варианты из двух групп.

Слова «и» и «или» показывают, чем отличаются операции. Чтобы элемент попал в пересечение, он должен пройти обе проверки: принадлежать A и принадлежать B; если не выполнена хотя бы одна, он не подходит. Для объединения достаточно пройти хотя бы одну проверку, потому что элемент может быть взят из A или из B. Если он проходит обе, его всё равно учитывают как один элемент.

Иногда одно множество целиком содержится в другом, например A = {1, 2} и B = {1, 2, 3}. Каждый элемент A уже принадлежит B, поэтому общими будут все элементы A и A ∩ B = A. А в объединение войдут все элементы B, так как добавление элементов A ничего нового не даёт: A ∪ B = B. Это позволяет быстро находить результат, не перебирая элементы повторно.

Если у множеств нет общих элементов, их называют непересекающимися. Например, у A = {1, 2} и B = {4, 5} нет элемента, который принадлежал бы обоим, поэтому A ∩ B = ∅, где ∅ — пустое множество. Объединение при этом не пустое: A ∪ B = {1, 2, 4, 5}, поскольку в него входят элементы каждого множества. Таким образом, отсутствие общей части влияет на пересечение, но не мешает объединить наборы.

Сравнение пересечения и объединения множеств

Пользуйтесь таблицей как памяткой: сначала решите, требуются общие элементы или все элементы двух множеств. Затем проверьте условие принадлежности и выберите знак ∩ или ∪. Особое внимание уделите словам «и» и «или»: они подсказывают, сколько условий должен выполнить элемент.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}. Найдите A ∩ B и A ∪ B.

1. Для пересечения выписываем только числа, которые есть в обоих множествах: это 3 и 4.
2. Для объединения берём элементы A, затем добавляем элементы B, которых ещё нет в записи. Числа 3 и 4 повторять не нужно, поэтому получаем 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: A ∩ B = {3, 4}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Пересечение отвечает на вопрос об общих элементах, объединение — обо всех элементах двух наборов.

Задача 2. В классе 18 учеников посещают кружок математики, 12 — кружок информатики, а 5 посещают оба кружка. Сколько учеников посещают хотя бы один из этих кружков?

1. Обозначим через A учеников математического кружка, а через B — учеников кружка информатики. Нужно узнать число элементов A ∪ B, потому что «хотя бы один кружок» означает принадлежность A или B.
2. Сложим количества участников: 18 + 12 = 30. При этом пятеро учеников, посещающих оба кружка, посчитаны дважды — один раз среди 18 и второй раз среди 12.
3. Вычтем повторный подсчёт: 30 − 5 = 25. Так каждому ученику, посещающему хотя бы один кружок, соответствует ровно один подсчёт.

Ответ: хотя бы один кружок посещают 25 учеников. Общую часть множеств вычитают, потому что в объединении каждый элемент учитывается один раз.

Задача 3. Для A = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x ≤ 3} и B = {x ∈ ℤ | 1 < x ≤ 5} запишите A ∩ B и A ∪ B перечислением элементов. Символ ℤ означает множество целых чисел, поэтому сначала перечислим целые числа, подходящие под каждое условие.

1. В A входят все целые числа от −2 до 3 включительно: A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
2. В B подходят целые числа, которые больше 1 и не больше 5: B = {2, 3, 4, 5}. Число 1 не подходит из-за строгого знака «больше».
3. Общими для двух списков являются 2 и 3, значит, это пересечение. Для объединения собираем элементы обоих списков по возрастанию и не повторяем 2 и 3.

Ответ: A ∩ B = {2, 3}, A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Сначала полезно отдельно раскрыть условия множеств, а потом выполнять операции.

Типичные ошибки

При поиске пересечения иногда записывают элементы, принадлежащие только одному множеству. Так происходит, если вместо проверки общего элемента просто переписывают оба списка. Проверяйте каждое число отдельно: оно должно находиться и в A, и в B, иначе в A ∩ B ему места нет.

В объединении общие элементы порой записывают дважды. Это случается, когда к первому списку механически приписывают весь второй, не сверяя элементы. Перед записью результата проверьте, не встречалось ли каждое добавляемое число раньше: в множестве повторов быть не должно.

Слово «или» в определении объединения могут ошибочно понять как «только одно из двух». В обычной записи A ∪ B подходит и элемент, принадлежащий сразу обоим множествам; иначе общая часть была бы исключена без основания. Для проверки спросите себя: принадлежит ли элемент хотя бы одному множеству? Если да, он входит в объединение.

Знаки ∩ и ∪ легко перепутать, особенно если запомнить только их вид. Обычно причина ошибки — отсутствие проверки смысла операции. Прочитайте результат словами: пересечение — «общее», объединение — «всё вместе»; затем убедитесь, что выбранный список соответствует этому смыслу.

Связь с другими темами

Для работы с множествами нужно знать, что такое множество и его элемент, а также уметь проверять принадлежность элемента заданному набору. Числовые промежутки тоже можно пересекать и объединять: это помогает записывать решения неравенств, например когда должны одновременно выполняться несколько условий. Те же операции полезны в задачах на подсчёт объектов и при работе с логическими условиями. Поэтому слова «и» и «или» связывают множества не только с алгеброй, но и с обычным рассуждением.

Что запомнить

• Пересечение A ∩ B состоит из элементов, общих для A и B.
• Объединение A ∪ B содержит элементы, принадлежащие A или B, или обоим множествам.
• В пересечении должны выполняться оба условия принадлежности.
• Для принадлежности объединению достаточно выполнения хотя бы одного условия.
• Общие элементы при объединении записывают только один раз.
• У непересекающихся множеств пересечение — пустое множество.