33. Числовые промежутки

Определения и обозначения

Числовой промежуток — множество чисел, расположенных между заданными границами; его задают неравенством и записывают скобками. Например, условие a < x < b означает, что x находится между a и b. Такая запись позволяет компактно описать сразу много чисел и показать их на прямой.

Интервал — промежуток, в который граничные числа не входят. Его обозначают (a; b), а условие записывают как a < x < b. Круглые скобки напоминают: можно брать числа сколь угодно близко к границе, но саму границу брать нельзя.

Отрезок включает оба конца и обозначается [a; b]. Ему соответствует неравенство a ≤ x ≤ b: символы ≤ показывают, что числа a и b разрешено брать. Поэтому квадратные скобки ставят именно у включённых границ.

Полуинтервал включает только один конец, а числовой луч имеет одну конечную границу и продолжается в одну сторону без конца. Их записывают смешанными скобками, например [a; b) или (a; b], а у бесконечности ставят круглую скобку: [a; +∞). Эти обозначения нужны, чтобы одновременно указать направление и включение границы.

Как это устроено

Неравенство с одной переменной задаёт множество всех чисел, которые после подстановки переменной делают его верным. Например, при x > 2 подходят 3, 10 и 2,1, но не подходят 2 и 0. На числовой прямой отмечают все подходящие числа: поскольку их бесконечно много, вместо отдельных точек закрашивают луч вправо от 2, а саму границу обозначают пустой точкой.

Скобки и точки на прямой передают одно и то же условие разными способами. Если число входит в множество, его отмечают закрашенной точкой и ставят квадратную скобку; если не входит — пустой точкой и круглой. Это согласуется со знаками: x ≤ b включает b, а x < b исключает его. Так по записи можно проверить рисунок, а по рисунку — выбрать скобку.

Когда множество продолжается неограниченно, указывают только конечный конец и направление: например, x ≥ a записывают [a; +∞). Если множество продолжается в обе стороны, оно равно всей числовой прямой и записывается (−∞; +∞). Возле бесконечности всегда круглая скобка, потому что бесконечность не является числом и не может быть конечной точкой, принадлежащей множеству.

Перевод записи в неравенство начинай с левой границы: квадратная скобка даёт знак ≤ или ≥, круглая — строгий знак < или >. Затем проверь, в какую сторону от границы находятся числа, и повтори проверку для правого конца. Например, [−3; 4) означает −3 ≤ x < 4: −3 входит, а 4 не входит. Такая проверка помогает не перепутать скобки при чтении и записи.

Если условие содержит «или», множество может распадаться на отдельные части. Например, x < −1 или x ≥ 2 задаёт числа левее −1 и числа от 2 вправо; между этими частями есть числа, которые условию не подходят. Поэтому части записывают раздельно и соединяют знаком объединения ∪, а на прямой закрашивают два отдельных луча. Одним промежутком их записать нельзя: тогда в множество ошибочно попадут числа между ними.

Виды числовых промежутков и их обозначения

В таблице круглые скобки означают, что граница не входит, а квадратные — что входит. Для луча границей служит только конечное число, а ∞ показывает направление продолжения множества. Сверяй обозначение с неравенством: знаки ≤ и ≥ должны соответствовать квадратным скобкам.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить множество чисел, заданное неравенством 2 < x ≤ 5, и записать его в виде промежутка. Сначала нужно определить, какие числа подходят, и проверить включение каждой границы. Затем по этим условиям выбрать точки и скобки.

1. Знак 2 < x строгий, значит, число 2 не подходит. На прямой у 2 ставим пустую точку и в записи промежутка — круглую скобку.
2. Знак x ≤ 5 нестрогий, значит, 5 подходит. У 5 ставим закрашенную точку и квадратную скобку.
3. Подходящие числа находятся между 2 и 5, поэтому на прямой отмечаем участок между этими точками.

Ответ: (2; 5], на числовой прямой — пустая точка у 2, закрашенная у 5 и выделенный участок между ними.

Задача 2. Записать промежуток [−3; 4) в виде неравенства и указать, принадлежат ли ему числа −3 и 4. По виду скобок можно сразу определить судьбу каждой границы. После этого остаётся заменить скобки соответствующими знаками.

1. У числа −3 стоит квадратная скобка, поэтому −3 включено; левая часть условия — −3 ≤ x.
2. У числа 4 стоит круглая скобка, поэтому 4 не включено; правая часть — x < 4.
3. Объединяем условия: −3 ≤ x < 4. Подставляя −3, получаем верное условие, а подстановка 4 его нарушает.

Ответ: −3 ≤ x < 4; число −3 принадлежит промежутку, число 4 — нет.

Задача 3. Записать множество решений неравенства x < −1 или x ≥ 2 как объединение промежутков и изобразить его. Слово «или» означает, что достаточно выполнить хотя бы одно из двух условий. Значит, отдельно рассматриваем числа левее −1 и числа не меньше 2.

1. Условие x < −1 задаёт луч влево от −1. Граница не входит, поэтому получаем (−∞; −1).
2. Условие x ≥ 2 задаёт луч вправо от 2. Число 2 входит, поэтому получаем [2; +∞).
3. Соединяем части знаком объединения и изображаем два луча: у −1 пустая точка, у 2 закрашенная. Промежуток между −1 и 2 не отмечаем, потому что его числа не удовлетворяют ни одному условию.

Ответ: (−∞; −1) ∪ [2; +∞).

Типичные ошибки

Круглую скобку иногда ставят у включённой границы, а квадратную — у невключённой. Так ошибаются, если ориентируются только на вид скобок, не сверяя их со знаком неравенства. Проверь каждую границу отдельно: ≤ и ≥ требуют квадратной скобки, < и > — круглой.

Квадратная скобка возле бесконечности создаёт впечатление, будто бесконечность входит в множество. Её могут поставить по привычке, если считают бесконечность обычным концом отрезка. Но бесконечность не число, поэтому возле неё всегда круглая скобка; при проверке найди в записи оба символа ∞.

Круглые скобки иногда принимают за знак отрицательного числа. Это неверно: скобка показывает только то, включена ли граница, и никак не зависит от её знака. Например, в [−3; 4) отрицательное число −3 включено, а положительное 4 исключено; проверяй каждую скобку отдельно.

Два раздельных промежутка могут ошибочно записать как один общий. Тогда в множество попадают числа из промежутка между частями, хотя исходное условие их не разрешает. Проверь запись подстановкой числа из этого промежутка: если оно не удовлетворяет ни одному условию, части нужно соединить знаком ∪, а не объединять в один промежуток.

Связь с другими темами

Для работы с промежутками нужно уметь сравнивать числа, читать знаки <, >, ≤, ≥ и находить числа на координатной прямой. Промежутки позволяют записывать решения неравенств и систем неравенств без перечисления отдельных чисел. Они также используются при задании области определения и множества значений функции. Поэтому умение читать скобки помогает понимать, какие значения переменной разрешены в задаче.

Что запомнить

• Круглая скобка означает, что граничное число не входит в промежуток.
• Квадратная скобка означает, что граничное число входит в промежуток.
• Строгому неравенству соответствует невключённая граница, нестрогому — включённая.
• У бесконечности всегда ставят круглую скобку.
• Запись промежутка можно перевести в неравенство и изобразить на числовой прямой.
• Для множества из нескольких раздельных частей используют объединение промежутков.