34. Решение неравенств с одной переменной

Определения и обозначения

Неравенство с одной переменной — это неравенство, в котором есть переменная, например x + 2 > 7. Его истинность зависит от того, какое число подставить вместо переменной: при одних значениях запись верна, при других — нет. Поэтому, прежде чем решать такое неравенство, полезно представить, что переменная может принимать разные значения. Это отличает его от числового неравенства, в котором обе части уже являются числами.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство превращается в верное числовое неравенство. Например, x = 6 является решением x > 4, потому что 6 > 4. Значение x = 2 решением не будет: после подстановки получится неверное утверждение 2 > 4. Проверка подстановкой помогает понять смысл найденных значений.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Часто подходит не одно число, а множество значений: например, неравенство x > 4 верно для любого числа больше 4. Тогда ответ записывают не перечислением чисел, а с помощью промежутка или другого обозначения множества. Такой ответ показывает весь набор подходящих значений.

Равносильные неравенства — неравенства с одним и тем же множеством решений. Например, x + 3 > 8 и x > 5 равносильны: оба верны при всех значениях x больше 5. Равносильные преобразования позволяют заменить исходное неравенство более простым, не теряя решений и не добавляя лишних. Именно поэтому при решении важно следить, сохраняется ли множество решений.

Как это устроено

Множество решений — это все значения переменной, для которых неравенство верно, а не только одно удачно найденное число. Например, если x > 2, подходят 3, 10 и бесконечно много других чисел. Перечислить их все невозможно, поэтому ответ удобно записывать промежутком (2; +∞). Круглая скобка означает, что граница 2 не входит в ответ, а знак > показывает, что само число 2 не подходит.

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, порядок между ними не изменится: оба числа сдвинутся на одинаковую величину. То же верно при вычитании одного и того же числа. Поэтому такие действия сохраняют множество решений и помогают убрать слагаемое, не содержащее переменную. Например, в x + 4 > 9 можно вычесть 4 из обеих частей и получить x > 5.

При умножении на положительное число порядок чисел сохраняется: если 2 < 5, то 2 · 3 < 5 · 3. Деление на положительное число действует так же, поэтому знак неравенства остаётся прежним. С отрицательным числом порядок обращается: из 2 < 5 следует −2 > −5. Значит, при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак необходимо заменить на противоположный.

Свойства неравенств применяют последовательно, чтобы получить более простую равносильную запись. Обычно сначала раскрывают скобки, затем собирают слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой, и в конце делят на коэффициент при переменной. Перенос слагаемого — это сокращённая запись прибавления или вычитания одного и того же числа из обеих частей. На каждом шаге нужно сохранять множество решений, особенно если предстоит деление на отрицательное число.

Найденное решение можно проверить, подставив подходящее число в исходное неравенство; для границы отдельно проверяют, входит ли она в ответ. При строгих знаках < и > граница не включается, а при ≤ и ≥ включается. Например, ответ x ≤ 4 записывают как промежуток (−∞; 4], где квадратная скобка отмечает включённое число 4. Если решения занимают несколько отдельных промежутков, их записывают как объединение этих промежутков.

Преобразования неравенств и их влияние на знак

Пользуйся таблицей, чтобы перед каждым действием проверить, нужно ли менять знак. Умножение и деление на отрицательное число требуют особого внимания: сначала убедись, что число действительно отрицательное. Эти правила помогают преобразовывать неравенство, сохраняя его множество решений.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x + 4 > 9.

1. Нужно оставить переменную x отдельно. В левой части к ней прибавлено 4, поэтому вычтем 4 из обеих частей: x + 4 − 4 > 9 − 4.
2. После упрощения получаем x > 5. Мы вычли одинаковое число, поэтому знак неравенства не изменился, а множество решений сохранилось.
3. Проверим значение, которое больше 5, например x = 6: 6 + 4 > 9, то есть 10 > 9. Граница 5 не подходит, поскольку получится 9 > 9.

Ответ: x > 5, или (5; +∞).

Задача 2. Решить неравенство 3x − 5 ≤ 7.

1. Сначала уберём число −5 рядом с переменной: прибавим 5 к обеим частям и получим 3x ≤ 12. Знак ≤ сохраняется, потому что прибавлено одно и то же число.
2. Чтобы найти x, разделим обе части на 3. Число 3 положительное, поэтому знак не меняется: x ≤ 4.
3. Проверим границу: при x = 4 обе части исходного неравенства равны 7, а знак ≤ допускает равенство. Числа меньше 4 тоже подходят.

Ответ: x ≤ 4, или (−∞; 4].

Задача 3. Решить неравенство −2(3x − 1) < 4x + 9.

1. Раскроем скобки: −6x + 2 < 4x + 9. Перенесём слагаемые с x влево, а числа вправо: −6x − 4x < 9 − 2, откуда −10x < 7.
2. Разделим обе части на −10. Делитель отрицательный, поэтому знак меняем на противоположный: x > −7/10.
3. Для проверки возьмём x = 0, которое больше −7/10. В исходном неравенстве получится 2 < 9 — верно. Граничное значение не включается, потому что исходный знак строгий.

Ответ: x > −7/10, или (−7/10; +∞).

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Обычно это происходит потому, что помнят действие с положительным множителем, но забывают о перемене порядка чисел. Перед таким шагом проверь знак множителя или делителя; если он отрицательный, замени знак неравенства на противоположный. Проверка подстановкой подходящего числа поможет заметить ошибку.

При переносе слагаемого некоторые меняют знак всего неравенства, а не знак переносимого слагаемого. Перенос означает, что к обеим частям прибавляют или из обеих вычитают одно и то же число, поэтому меняется знак слагаемого, но знак <, >, ≤ или ≥ остаётся прежним. Чтобы проверить себя, выполни перенос через запись действия с обеими частями. Так легче увидеть, какое именно число прибавляется или вычитается.

Деление на выражение с переменной опасно, если его знак неизвестен. В зависимости от того, положительно это выражение или отрицательно, знак неравенства может сохраниться или поменяться; если выражение равно нулю, делить на него нельзя. Сначала определи знак выражения для рассматриваемых значений переменной. Если сделать это нельзя, такое деление не является обоснованным преобразованием.

Иногда в ответ записывают только одно подходящее число или включают границу, хотя знак неравенства строгий. Так бывает, если проверяют лишь один пример и забывают, что требуется найти все решения. Запиши множество значений промежутком и сверь круглую или квадратную скобку со знаком неравенства. Подстановка граничного значения показывает, входит ли оно в ответ.

Связь с другими темами

Для решения неравенств нужны навыки преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и перенос слагаемых. Также полезно уметь решать линейные уравнения, потому что многие шаги похожи, но при делении на отрицательное число в неравенстве требуется менять знак. Освоенные правила понадобятся при решении систем неравенств и изучении линейной функции. Неравенства также помогают находить области допустимых значений — значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Что запомнить

• Решение неравенства — любое значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство.
• Прибавление или вычитание одного и того же числа сохраняет равносильность.
• Умножение или деление на положительное число сохраняет знак неравенства.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный.
• Преобразования должны сохранять множество решений.
• В ответе указывают всё множество решений, а не только отдельные подходящие значения.