"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Система неравенств с одной переменной задаёт несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Поэтому её решение — не объединение, а пересечение множеств решений отдельных неравенств. Сначала каждое неравенство решают отдельно, затем отмечают найденные промежутки на координатной прямой и выбирают общую часть. Так можно определить, какие значения подходят всем условиям, в том числе если ответ пуст или состоит из нескольких частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система неравенств — несколько неравенств с одной переменной, которые должны выполняться одновременно. Например, запись x > 1; x ≤ 4 означает, что оба условия относятся к одному и тому же x. Это понятие помогает описывать ситуации, где на значение переменной наложено сразу несколько ограничений.
Решение системы — значение переменной, при котором верны все неравенства системы. Число, подходящее только одному из неравенств, решением всей системы не является. Это определение задаёт главный критерий: проверить нужно каждое условие.
Множество решений — все значения переменной, являющиеся решениями системы или отдельного неравенства. Его часто записывают в виде промежутка, например (2, 5], или изображают на координатной прямой. Такая запись позволяет наглядно увидеть, какие числа подходят.
Пересечение множеств — их общая часть, то есть значения, которые принадлежат каждому из рассматриваемых множеств. При решении системы пересекают множества решений её неравенств. Это понятие помогает перейти от нескольких отдельных ответов к одному ответу системы.
Решить систему означает найти общие решения входящих в неё неравенств, потому что все условия должны выполняться одновременно. Если x подходит первому неравенству, но нарушает второе, такой выбор не удовлетворяет системе. Поэтому объединять решения нельзя: объединение оставляет числа, подходящие хотя бы одному условию, а это уже другое требование.
Сначала каждое неравенство решают отдельно, как если бы остальных условий не было. Полученный ответ удобно представить промежутком и отметить на координатной прямой: точки, лежащие на линии, соответствуют возможным значениям x. Раздельная запись помогает не потерять решения и увидеть, какие границы задаёт каждое условие.
Затем находят пересечение промежутков, потому что точка общего участка принадлежит всем множествам решений сразу. На координатной прямой для этого достаточно оставить ту часть, которая закрашена при каждом неравенстве. Если общего участка нет, ни одно число не удовлетворяет всем условиям системы.
Границы промежутка определяют по числам, где заканчиваются или начинаются отдельные множества. Строгий знак < или > не включает граничное число, поэтому используют круглую скобку и пустой кружок. Нестрогий знак ≤ или ≥ включает границу: ставят квадратную скобку и закрашенную точку, если это число остаётся в общей части.
Ответ системы может быть одним промежутком, несколькими частями или пустым множеством. Один промежуток получается, когда общая область непрерывна; несколько частей возможны, например, при пересечении множеств, состоящих из отдельных промежутков. Если ни одна точка не принадлежит всем множествам одновременно, решений нет.
| Вид системы | Множество решений первого неравенства | Множество решений второго неравенства | Общий ответ |
|---|---|---|---|
| x > a и x > b | (a, +∞) | (b, +∞) | (max(a, b), +∞) |
| x < a и x < b | (−∞, a) | (−∞, b) | (−∞, min(a, b)) |
| x > a и x < b при a < b | (a, +∞) | (−∞, b) | (a, b) |
| x > a и x < b при a ≥ b | (a, +∞) | (−∞, b) | ∅ |
| Система с нестрогими знаками | Граница может входить | Граница может входить | Общая часть с включёнными границами, если они удовлетворяют обоим условиям |
В первых двух строках остаётся более узкий промежуток: для x больше двух чисел берут большее, а для x меньше них — меньшее. Если нижняя граница меньше верхней, между ними есть общая часть; если она не меньше верхней, пересечение пусто. При нестрогих знаках граница включается только тогда, когда её допускают оба неравенства.
Решить систему: x − 3 > 0; 2x + 4 ≤ 10. Условия связаны союзом «и», поэтому найдём множество решений каждого неравенства, а затем оставим общие значения. Особое внимание уделим границам: в одном условии знак строгий, в другом — нестрогий.
Ответ: ∅, система решений не имеет.
Решить систему: 3x − 5 ≥ 2x + 1; 4 − x > −2. Сначала упростим каждое условие, сохраняя направление знака. Во втором неравенстве переменная получится со знаком минус, поэтому при делении на −1 знак обязательно изменится.
Ответ: ∅.
Решить систему: (x − 2)(x + 1) ≤ 0; x > −2. Первое неравенство квадратное и записано как произведение множителей, поэтому сначала найдём его нули. Затем определим, где произведение неположительно, и пересечём этот промежуток с решением второго условия.
Ответ: [−1, 2].
Объединяют решения неравенств вместо их пересечения, потому что путают условия «и» и «или». В результате в ответ попадают числа, которые не подходят одному из условий системы. Проверьте себя вопросом: удовлетворяет ли выбранное число каждому неравенству сразу? Если требуется выполнить все условия, берут только общую часть.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют знак неравенства прежним. Это происходит потому, что привычные действия переносят с уравнений, хотя порядок чисел при таком действии меняется на противоположный. Отмечайте шаг деления на отрицательное число отдельно и переворачивайте знак, например, из −x > −2 получаем x < 2.
Граничную точку могут включить при строгом знаке или исключить при нестрогом. Обычно ошибка возникает, когда знак и обозначение на прямой выбирают по памяти, не проверяя исходное условие. Подставьте границу в неравенство: если равенство допустимо при ≤ или ≥, точку закрашивают, а при < или > оставляют пустой.
Иногда записывают промежуток, не проверив, подходят ли его точки каждому неравенству системы. Причина — решение одного условия принимают за окончательный ответ или не сравнивают границы на прямой. Проверьте любой внутренний пример из ответа во всех неравенствах, а граничные значения отдельно испытайте подстановкой.
Для решения систем нужно уметь решать линейные и квадратные неравенства, изображать промежутки на координатной прямой и выполнять действия с интервалами. Эти навыки позволяют получить отдельные множества решений и правильно найти их общую часть. Идея нескольких одновременных ограничений встречается при исследовании области допустимых значений, решении практических задач и изучении неравенств с параметрами.
Почему при решении системы нужно пересекать промежутки, а не объединять их?
Система требует, чтобы переменная удовлетворяла каждому неравенству одновременно. Поэтому подходят только значения из общей части промежутков. Объединение отвечало бы условию «хотя бы одному», то есть задаче с союзом «или».
Что делать, если решения двух неравенств не пересекаются?
Тогда общих значений нет, и система не имеет решений. В ответе можно записать пустое множество: ∅. Проверьте, что границы промежутков учтены правильно.
Как правильно отметить граничную точку на координатной прямой?
При строгом знаке < или > граница не входит в решение, поэтому её отмечают пустым кружком. При нестрогом знаке ≤ или ≥ граница входит в решение, её обозначают закрашенной точкой. При записи промежутка это соответствует круглой или квадратной скобке.
Нужно ли проверять найденный промежуток подстановкой?
Полезно проверить точки ответа и границы, особенно если решение записано не одним промежутком. Каждая выбранная точка должна удовлетворять всем неравенствам системы. Для проверки границ отдельно выясните, входят ли они в решение.
Как решать систему, если одно из неравенств квадратное?
Сначала решите квадратное неравенство: найдите корни и определите, на каких промежутках выражение имеет нужный знак. Затем решите остальные неравенства и пересеките все полученные множества. Например, знак произведения можно определить по его корням и знакам на промежутках.
35. Решение систем неравенств с одной переменной
